Questão 1 - Chá a 70^{\circ} \mathrm{C} é transferido para um xícara que inicialmente apresenta temperatura uniforme \mathrm{Ti}= 25^{\circ} \mathrm{C}. A espessura das paredes da xícara também é uniforme e igual a 6 mm . Admitindo que a temperatura superficial das paredes da xícara, que estão em contato com o chá, se torne igual a temperatura do chá instantaneamente, estime o tempo necessário para que um ponto localizado a 2 mm de distância da superfície de contato com o fluido apresente temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}.
a=4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
B i=\frac{h L}{K}
Passo 1
O enunciado pede que se estime o tempo necessário para que um ponto dentro da parede da xícara, localizado a 2\\ \mathrm{mm} da superfície em contato com o chá, atinja 30^\circ\mathrm{C}, sabendo que:
Temperatura inicial da parede: T_i = 25^\circ\mathrm{C}.
Temperatura superficial (imposta instantaneamente pelo chá): T_s = 70^\circ\mathrm{C}.
Ponto de interesse a partir da superfície: x = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
Espessura total da parede: 6\\ \mathrm{mm} (informação dada).
Difusividade térmica: a = 4\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Deve-se estimar o tempo t tal que T(x,t)=30^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Escolha do método: trata-se de condução transiente unidimensional na parede com a superfície mantida, instantaneamente, à temperatura do chá. O modelo mais simples e apropriado (e o que o enunciado permite) é o da semi-infinitude com condição de temperatura prescrita na superfície (condição de Dirichlet constante). Justificativa prática: a espessura é maior que as distâncias e tempos de interesse (vamos checar depois se a aproximação semi-infinita é válida), e o enunciado afirma que a superfície assume instantaneamente T_s, portanto usaremos a solução conhecida para uma semi-infinita com superfície à temperatura constante.
Passo 3
Formulação e solução teórica utilizada. Para um semi-espaço (x\ge 0) inicialmente à temperatura T_i e com a superfície x=0 mantida em T_s a partir de t=0, a solução da equação de difusão (1D) é
T(x,t) é a temperatura no ponto a distância x da superfície e no tempo t.
T_s é a temperatura imposta na superfície.
T_i é a temperatura inicial do sólido.
a é a difusividade térmica.
\operatorname{erf}(z) é a função erro (error function), definida por \operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-u^2}\,du. Tem propriedades: \operatorname{erf}(0)=0 e \operatorname{erf}(+\infty)=1.
Passo 4
Aplicando essa solução para achar t quando T(x,t)=30^\circ\mathrm{C}. Substituindo T=30, T_s=70, T_i=25:
Determinar \eta=\operatorname{erf}^{-1}\!\left(\tfrac{8}{9}\right) numericamente por aproximação. Usamos valores conhecidos da função erro e uma aproximação linear local:
\operatorname{erf}(1)=0{,}8427008.
\operatorname{erf}(1{,}1)=0{,}880205 (valor tabulado).
Queremos 0{,}888888, que está entre os dois. Avaliamos a derivada \dfrac{d}{dz}\operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2}. Em z=1{,}1:
Esse comprimento de penetração (~0,89 mm) é significativamente menor que a espessura da parede (6 mm), portanto a aproximação de semi-espaço (ou seja, desprezar a condição no lado oposto da parede durante o tempo considerado) é consistente e válida.
Passo 8
Resumo didático rápido: usamos a solução padrão para um semi-espaço com superfície mantida a temperatura constante; isolamos a função erro; obtivemos o argumento via inversa aproximada da função erro; substituímos na relação entre x, a, t e a função erro e verificamos que a aproximação usada é coerente com a espessura real da parede. Resultado final pequeno (alguns segundos) porque a distância é curta e a difusividade, embora pequena, permite aquecimento rápido a essa escala.