Questão 1 - Chá a 70^{\circ} \mathrm{C} é transferido para um xícara que inicialmente apresenta temperatura uniforme \mathrm{Ti}= 25^{\circ} \mathrm{C}. A espessura das paredes da xícara também é uniforme e igual a 6 mm . Admitindo que a temperatura superficial das paredes da xícara, que estão em contato com o chá, se torne igual a temperatura do chá instantaneamente, estime o tempo necessário para que um ponto localizado a 2 mm de distância da superfície de contato com o fluido apresente temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}.
a=4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
B i=\frac{h L}{K}

Passo 1

O enunciado pede que se estime o tempo necessário para que um ponto dentro da parede da xícara, localizado a 2\\ \mathrm{mm} da superfície em contato com o chá, atinja 30^\circ\mathrm{C}, sabendo que:
  • Temperatura inicial da parede: T_i = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura superficial (imposta instantaneamente pelo chá): T_s = 70^\circ\mathrm{C}.
  • Ponto de interesse a partir da superfície: x = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Espessura total da parede: 6\\ \mathrm{mm} (informação dada).
  • Difusividade térmica: a = 4\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Deve-se estimar o tempo t tal que T(x,t)=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método: trata-se de condução transiente unidimensional na parede com a superfície mantida, instantaneamente, à temperatura do chá. O modelo mais simples e apropriado (e o que o enunciado permite) é o da semi-infinitude com condição de temperatura prescrita na superfície (condição de Dirichlet constante). Justificativa prática: a espessura é maior que as distâncias e tempos de interesse (vamos checar depois se a aproximação semi-infinita é válida), e o enunciado afirma que a superfície assume instantaneamente T_s, portanto usaremos a solução conhecida para uma semi-infinita com superfície à temperatura constante.

Passo 3

Formulação e solução teórica utilizada. Para um semi-espaço ( x\ge 0) inicialmente à temperatura T_i e com a superfície x=0 mantida em T_s a partir de t=0, a solução da equação de difusão (1D) é
T(x,t)=T_s + (T_i-T_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{a t}}\right).
Explicando os termos:
  • T(x,t) é a temperatura no ponto a distância x da superfície e no tempo t.
  • T_s é a temperatura imposta na superfície.
  • T_i é a temperatura inicial do sólido.
  • a é a difusividade térmica.
  • \operatorname{erf}(z) é a função erro (error function), definida por \operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-u^2}\,du. Tem propriedades: \operatorname{erf}(0)=0 e \operatorname{erf}(+\infty)=1.

Passo 4

Aplicando essa solução para achar t quando T(x,t)=30^\circ\mathrm{C}. Substituindo T=30, T_s=70, T_i=25:
30 = 70 + (25-70)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{a t}}\right).
Isolando a função erro:
\frac{30-70}{25-70}=\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{a t}}\right).
Calcule o lado esquerdo:
\frac{30-70}{25-70}=\frac{-40}{-45}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\approx 0{,}888888\ldots
Portanto precisamos de \eta tal que
\operatorname{erf}(\eta)=\frac{8}{9}, \qquad\text{com}\qquad \eta=\frac{x}{2\sqrt{a t}}.

Passo 5

Determinar \eta=\operatorname{erf}^{-1}\!\left(\tfrac{8}{9}\right) numericamente por aproximação. Usamos valores conhecidos da função erro e uma aproximação linear local:
  • \operatorname{erf}(1)=0{,}8427008.
  • \operatorname{erf}(1{,}1)=0{,}880205 (valor tabulado).
    Queremos 0{,}888888, que está entre os dois. Avaliamos a derivada \dfrac{d}{dz}\operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2}. Em z=1{,}1:
\left.\frac{d}{dz}\operatorname{erf}(z)\right|_{z=1{,}1}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-1{,}1^2} \approx 1{,}128379\cdot e^{-1{,}21}\approx 1{,}128379\cdot 0{,}298198\approx 0{,}3364.
A diferença desejada em \operatorname{erf} é \Delta y=0{,}888888-0{,}880205=0{,}008683. Usando \Delta z\approx \Delta y / (d\operatorname{erf}/dz):
\Delta z\approx \frac{0{,}008683}{0{,}3364}\approx 0{,}0258.
Logo \eta\approx 1{,}1+0{,}0258\approx 1{,}1258. Podemos arredondar \eta\approx 1{,}126.

Passo 6

Agora relacionamos \eta com t:
\eta=\frac{x}{2\sqrt{a t}}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{x^2}{4 a \eta^2}.
Substituindo x=0{,}002\\ \mathrm{m}, a=4\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e \eta\approx 1{,}126:
Primeiro calcule x^2:
x^2=(0{,}002)^2=4\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Calcule 4a:
4a=4\cdot 4\times 10^{-7}=1{,}6\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Portanto
t=\frac{4\times 10^{-6}}{1{,}6\times 10^{-6}\cdot (1{,}126)^2} =\frac{4\times 10^{-6}}{1{,}6\times 10^{-6}\cdot 1{,}2676} =\frac{4}{1{,}6}\cdot\frac{1}{1{,}2676}\\ \mathrm{s}.
\frac{4}{1{,}6}=2{,}5,\qquad\text{logo}\qquad t\approx \frac{2{,}5}{1{,}2676}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}97\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente: t\approx 2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Verificação da hipótese semi-infinita: calcule o comprimento de penetração característico \sqrt{a t} com o t encontrado:
\sqrt{a t}=\sqrt{4\times 10^{-7}\cdot 1{,}97}\approx \sqrt{7{,}88\times 10^{-7}}\approx 8{,}9\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}89\\ \mathrm{mm}.
Esse comprimento de penetração (~0,89 mm) é significativamente menor que a espessura da parede (6 mm), portanto a aproximação de semi-espaço (ou seja, desprezar a condição no lado oposto da parede durante o tempo considerado) é consistente e válida.

Passo 8

Resumo didático rápido: usamos a solução padrão para um semi-espaço com superfície mantida a temperatura constante; isolamos a função erro; obtivemos o argumento via inversa aproximada da função erro; substituímos na relação entre x, a, t e a função erro e verificamos que a aproximação usada é coerente com a espessura real da parede. Resultado final pequeno (alguns segundos) porque a distância é curta e a difusividade, embora pequena, permite aquecimento rápido a essa escala.

Resposta

t \approx 2{,}0\\ \mathrm{s}

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