Questão 4) Uma chapa fina metálica de comprimento L consiste em um pêndulo físico de momento de inércia dado por lcm=ML^2 / 12. Calcule o período de oscilação deste pêndulo quando ele oscila em torno de um eixo paralelo ao que possui o momento de inércia I = ML^2 / 12 porém à uma distância de L/4 do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa fina metálica de comprimento L e massa M, cujo momento de inércia em torno de um eixo passando pelo centro de massa é
Icm = M L^212
Queremos o período de pequenas oscilações quando o eixo de rotação é deslocado paralelamente em uma distância d = L/4 do centro de massa. O conteúdo aqui é pêndulo físico e uso do Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner).

Passo 2

Aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para obter o momento de inércia I em torno do novo eixo:
I = Icm + M d^2 = M L^212 + Mgl(L4gr)^2 = M L^2gl(112 + 116gr) = 7,M L^248

Passo 3

Para pequenas oscilações, o torque restaurador em torno do eixo é
tau = - M g d ,theta,
onde theta é o ângulo de deslocamento pequeno. A equação de movimento é
I,ddottheta = -M g d,theta,
o que leva a um movimento harmônico com
omega^2 = M g dI

Passo 4

Substituindo I = tfrac7 M L^248 e d = tfracL4 em omega^2, temos
omega^2 = M g (L/4)(7M L^2/48) = 48,g7cdot 4,L = 12,g7,L
Logo
omega = raiz12,g7,L
O período é
T = 2piomega = 2pi raiz7,L12,g

Resposta

T = 2pi raiz7,L12,g

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