Questão 5) Um oscilador massa-mola executa um movimento com amortecimento devido ao atrito. Sabendo que o fator de amortecimento é conhecido e em regime sub-crítico, determine a posição do oscilador no instante de tempo t=10 s e quanto a sua amplitude diminuiu em relação ao início do movimento ( t=0 s ) sabendo que:
x(t)=10 exp (-0.5^* t) cos (2 t)
Além disso, calcule a frequência w de uma força externa para que a amplitude do movimento seja máxima (Ressonância).

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola com amortecimento sub– cr’itico, cuja solu\c{c}~ao livre `e
x(t)=10,e^-0.5,tcos(2,t)
Preciso:
1. Calcular x(10).
2. Determinar como a amplitude decaiu em rela\c{c}~ao a t=0.
3. Encontrar a frequ^encia de excita\c{c}~ao omega que maximiza a amplitude (resson^ancia) para esse amortecimento.

Passo 2

Para achar a posição em t=10, fazemos
x(10)=10,e^-0.5cdot10cos(2cdot10) =10,e^-5cos(20)
Agora calculamos numericamente:
e^-5approx0,0067379, cos(20,rad)approx0,4058
Logo
x(10)approx10times0,0067379times0,4058approx0,0273 (unidades de comprimento)

Passo 3

A amplitude da oscilação está dada pelo envelope
A(t)=10,e^-0.5,t
Em t=0, A(0)=10. Em t=10:
A(10)=10,e^-5approx10times0,0067379approx0,0674
Portanto a amplitude passou de 10 para 0,0674, ou seja, decaiu em
A(10)A(0)=e^-5approx0,0067379(approx0,6738%,do original)

Passo 4

Para o oscilador for\c{c}ado com amortecimento 2beta=1 (logo beta=0.5) e frequ^encia natural omega0, sabe– se que a resposta em regime estacion’ario tem amplitude m’axima em
omegarm res=raizomega0^2-2beta^2
Aqui o termo oscilat’orio livre tem frequ^encia amortecida omegad=2, e vale
omegad=raizomega0^2-beta^2Longrightarrow omega0=raizomegad^2+beta^2=raiz2^2+0.5^2=raiz4,25approx2,062
Substituindo em omegarm res:
omegarm res=raiz4,25-2cdot(0,5)^2 =raiz4,25-0,5 =raiz3,75approx1,9365 (rad/s)

Resposta

Posição em t=10:
x(10)approx0,0273
Amplitude decaiu de 10 para 0,0674, ficando em cerca de 0,6738% do valor inicial.
Frequência de ressonância (máxima amplitude forçada):
omegarm resapprox1,94 rad/s

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