60 Exercício 4
Uma distribuição de carga possui densidade:
Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço.
Uma distribuição de carga possui densidade:
Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade volumétrica de carga em todo o espaço:
onde
é uma constante. A pergunta é: determinar o campo elétrico
em um ponto qualquer do espaço (ou seja, achar
).
Informações relevantes fornecidas:
- A densidade de carga depende apenas da coordenada
e é linear em . - Não foram dadas condições de contorno (por exemplo, comportamento do campo no infinito nem condições sobre
em algum ponto específico). - O objetivo é obter
no espaço inteiro, expressa em função das coordenadas (pelo menos em termos de ).
Passo 2
Vamos usar as equações fundamentais que relacionam densidade de carga e campo elétrico (essas são coisas que valem para eletrostática):
Explicando devagar:
-
significa a divergência de ; é uma operação que, em coordenadas cartesianas, mede a taxa de variação dos componentes do campo. Fisicamente, relate fluxos e cargas: a divergência do campo em um ponto é igual à densidade de carga naquele ponto dividida por . -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante). -
significa que o campo elétrico é irrotacional (ele tem um potencial escalar tal que ); isso vale em eletrostática (sem campos magnéticos variando no tempo).
Essas duas equações serão as ferramentas para achar
.
Passo 3
Observação de simetria e simplificação: a densidade
depende só de
, não depende de
nem de
. Isso sugere que as variações do campo nas direções
e
não são forçadas pela carga — portanto, a escolha mais simples (e a mais compatível com a simetria de tradução em
e
) é procurar um campo que:
isto é, só componente na direção
e que depende apenas da coordenada
.
Porquê essa escolha é natural? Se a densidade não distingue diferentes valores de ou
, não há razão para que o campo varie com
ou
; se existisse uma dependência em
ou
haveria uma direção preferencial que a densidade não impõe. Portanto tentaremos achar uma solução com
e
. (Mais adiante veremos que a equação permite adicionar constantes; isso será comentado.)
Porquê essa escolha é natural? Se a densidade não distingue diferentes valores de
Passo 4
Agora aplicamos a equação da divergência em coordenadas cartesianas. Para um campo da forma
temos
A equação de Maxwell local dá
Isso é uma equação diferencial ordinária simples em
. Vamos resolver integrando uma vez:
onde
é uma constante de integração (independente de
). Assim, a solução obtida é
Passo 5
Interpretação da constante
e unicidade da solução. Alguns pontos importantes:
- A constante
representa um campo uniforme adicional na direção . Qualquer campo constante tem divergência nula e curl nulo, então adicioná-lo não altera a condição nem . - Portanto a equação
sozinha não determina de forma única; é preciso dar uma condição de contorno (por exemplo: quando , ou , ou outra condição física) para fixar . - Se se impuser, por argumento de escolha natural ou por condição de contorno simétrica, que o campo no ponto
seja nulo ( ) — escolha comum quando se busca a solução mais simples e simétrica — então .
Passo 6
Escolhendo a solução mais simples (aquela que satisfaz
), obtemos:
Vamos verificar rapidamente que isso funciona:
- Divergência:
ok.
- Rotacional:
pois
depende só de
e tem só componente em
; logo é irrotacional, como exigido em eletrostática.
Passo 7
Resumo final, interpretação física curta e encorajamento: a densidade linear
gera um campo elétrico na direção
que cresce como
. A solução é única apenas após fixar uma condição de contorno; a forma mais simples e simétrica é
. Vai dar tudo certo na prova — lembra de mencionar a constante de integração se o enunciado não der condições de contorno.
Resposta
Valor particular (tomando