60 Exercício 4
Uma distribuição de carga possui densidade:
\rho(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{kx}
Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade volumétrica de carga em todo o espaço:
\rho(x,y,z)=k x,
onde k é uma constante. A pergunta é: determinar o campo elétrico \mathbf{E} em um ponto qualquer do espaço (ou seja, achar \mathbf{E}(x,y,z)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade de carga depende apenas da coordenada x e é linear em x.
  • Não foram dadas condições de contorno (por exemplo, comportamento do campo no infinito nem condições sobre \mathbf{E} em algum ponto específico).
  • O objetivo é obter \mathbf{E} no espaço inteiro, expressa em função das coordenadas (pelo menos em termos de x).

Passo 2

Vamos usar as equações fundamentais que relacionam densidade de carga e campo elétrico (essas são coisas que valem para eletrostática):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}, \qquad \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}.
Explicando devagar:
  • \nabla\cdot\mathbf{E} significa a divergência de \mathbf{E}; é uma operação que, em coordenadas cartesianas, mede a taxa de variação dos componentes do campo. Fisicamente, relate fluxos e cargas: a divergência do campo em um ponto é igual à densidade de carga naquele ponto dividida por \epsilon_0.
  • \epsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
  • \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} significa que o campo elétrico é irrotacional (ele tem um potencial escalar \Phi tal que \mathbf{E}=-\nabla\Phi); isso vale em eletrostática (sem campos magnéticos variando no tempo).
Essas duas equações serão as ferramentas para achar \mathbf{E}.

Passo 3

Observação de simetria e simplificação: a densidade \rho(x,y,z)=k x depende só de x, não depende de y nem de z. Isso sugere que as variações do campo nas direções y e z não são forçadas pela carga — portanto, a escolha mais simples (e a mais compatível com a simetria de tradução em y e z) é procurar um campo que:
\mathbf{E}=\;E_x(x)\,\hat{\mathbf{x}},
isto é, só componente na direção x e que depende apenas da coordenada x.
Porquê essa escolha é natural? Se a densidade não distingue diferentes valores de y ou z, não há razão para que o campo varie com y ou z; se existisse uma dependência em y ou z haveria uma direção preferencial que a densidade não impõe. Portanto tentaremos achar uma solução com E_y=E_z=0 e E_x=E_x(x). (Mais adiante veremos que a equação permite adicionar constantes; isso será comentado.)

Passo 4

Agora aplicamos a equação da divergência em coordenadas cartesianas. Para um campo da forma \mathbf{E}=E_x(x)\,\hat{\mathbf{x}} temos
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{dE_x}{dx}.
A equação de Maxwell local dá
\frac{dE_x}{dx}=\frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{k x}{\epsilon_0}.
Isso é uma equação diferencial ordinária simples em x. Vamos resolver integrando uma vez:
\frac{dE_x}{dx}=\frac{k}{\epsilon_0}x \quad\Longrightarrow\quad E_x(x)=\int \frac{k}{\epsilon_0}x\,dx=\frac{k}{2\epsilon_0}x^2+C,
onde C é uma constante de integração (independente de x). Assim, a solução obtida é
\mathbf{E}(x,y,z)=\left(\frac{k}{2\epsilon_0}x^2 + C\right)\hat{\mathbf{x}}.

Passo 5

Interpretação da constante C e unicidade da solução. Alguns pontos importantes:
  • A constante C representa um campo uniforme adicional na direção x. Qualquer campo constante tem divergência nula e curl nulo, então adicioná-lo não altera a condição \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0 nem \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}.
  • Portanto a equação \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0 sozinha não determina \mathbf{E} de forma única; é preciso dar uma condição de contorno (por exemplo: \mathbf{E}\to\mathbf{0} quando |\mathbf{r}|\to\infty, ou \mathbf{E}(0)=\mathbf{0}, ou outra condição física) para fixar C.
  • Se se impuser, por argumento de escolha natural ou por condição de contorno simétrica, que o campo no ponto x=0 seja nulo ( E_x(0)=0) — escolha comum quando se busca a solução mais simples e simétrica — então C=0.

Passo 6

Escolhendo a solução mais simples (aquela que satisfaz E_x(0)=0), obtemos:
\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{k}{2\epsilon_0}x^2\,\hat{\mathbf{x}}.
Vamos verificar rapidamente que isso funciona:
  • Divergência:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{k}{2\epsilon_0}x^2\right)=\frac{k}{\epsilon_0}x=\frac{\rho}{\epsilon_0},
ok.
  • Rotacional:
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}
pois \mathbf{E} depende só de x e tem só componente em x; logo é irrotacional, como exigido em eletrostática.

Passo 7

Resumo final, interpretação física curta e encorajamento: a densidade linear \rho=kx gera um campo elétrico na direção x que cresce como x^2. A solução é única apenas após fixar uma condição de contorno; a forma mais simples e simétrica é E_x=(k/(2\epsilon_0))x^2. Vai dar tudo certo na prova — lembra de mencionar a constante de integração se o enunciado não der condições de contorno.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(x,y,z)=\left(\frac{k}{2\epsilon_0}x^2 + C\right)\hat{\mathbf{x}}, onde C é uma constante (determinação de C requer condição de contorno).\n
Valor particular (tomando C=0 por simetria): \displaystyle \mathbf{E}(x,y,z)=\frac{k}{2\epsilon_0}x^2\,\hat{\mathbf{x}}.

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