Questão 5. Suponha que a função de distribuição de X seja dada por
F(b)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & b<0 \\\ b / 4, & 0 \leq b<1 \\\\ 1 / 2+(b-1) / 4, & 1 \leq b<2 \\\\ 11 / 12, & 2 \leq b<3 \\\\ 1 & 3 \leq b \end{array}\right.
Determine \mathbb{P}[1 / 2<X<3 / 2];

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F\) de \(X\) definida por \[F(b)=\begin{cases} 0, & b<0,\\[4pt] \dfrac{b}{4}, & 0\le b<1,\\[6pt] \dfrac{1}{2}+\dfrac{b-1}{4}, & 1\le b<2,\\[6pt] \dfrac{11}{12}, & 2\le b<3,\\[4pt] 1, & 3\le b, \end{cases}
e pede para determinar (\mathbb{P}\bigl(\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{3}{2}\bigr)].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função F é a função de distribuição acumulada (cdf) de X.
  • Temos as expressões de F(b) em intervalos diferentes de b.
  • O intervalo de interesse é \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr).]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): para uma cdf F vale
F(x)=\mathbb{P}(X\le x).
Dessa definição seguem fórmulas úteis:
  • \mathbb{P}(a<X\le b)=F(b)-F(a).
  • Para intervalo aberto em b temos \mathbb{P}(X<b)=\lim_{t\to b^-}F(t)=:F(b^-). Assim
\mathbb{P}(a<X<b)=\mathbb{P}(X<b)-\mathbb{P}(X\le a)=F(b^-)-F(a).
Explicação rápida: F(b^-) é o valor da cdf imediatamente à esquerda de b; se F tiver salto em b esse salto é a probabilidade pontual \mathbb{P}(X=b). Se F for contínua em b, então F(b^-)=F(b).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: queremos \mathbb{P}\bigl(\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{3}{2}\bigr). Pela fórmula do passo anterior,
\mathbb{P}\bigl(\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{3}{2}\bigr)=F\bigl(\tfrac{3}{2}^-\bigr)-F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr).
Agora vamos calcular F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) e F\bigl(\tfrac{3}{2}^-\bigr).

Passo 4

Calcular F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr). Observamos que \tfrac{1}{2} está no intervalo 0\le b<1, onde
F(b)=\frac{b}{4}.
Logo
F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{\tfrac{1}{2}}{4}=\frac{1}{8}.
Detalhe aritmético: dividir \tfrac{1}{2} por 4 \tfrac{1}{8}.

Passo 5

Calcular F\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr). Observamos que \tfrac{3}{2} está no intervalo 1\le b<2, onde
F(b)=\frac{1}{2}+\frac{b-1}{4}.
Substituindo b=\tfrac{3}{2} obtemos
F\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\frac{1}{2}+\frac{\tfrac{3}{2}-1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\tfrac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.

Passo 6

Verificar continuidade em b=\tfrac{3}{2}: dentro do intervalo 1\le b<2 F é linear, portanto contínua ali. Assim o limite à esquerda coincide com o valor:
F\bigl(\tfrac{3}{2}^-\bigr)=F\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\frac{5}{8}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do passo 3:
\mathbb{P}\bigl(\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{3}{2}\bigr)=F\bigl(\tfrac{3}{2}^-\bigr)-F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{5}{8}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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