Questão
Considere um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental. A função de onda para esse estado (fundamental) é dada por:
onde
é o raio de Bohr.
a) Obtenha a constante de normalização (
);
b) Calcule a distância mais provável entre o elétron e o próton para esse estado (fundamental);
c) Calcule a probabilidade de se encontrar o elétron, no estado fundamental, entre duas cascas esféricas de raios
e
, respectivamente.
onde
b) Calcule a distância mais provável entre o elétron e o próton para esse estado (fundamental);
c) Calcule a probabilidade de se encontrar o elétron, no estado fundamental, entre duas cascas esféricas de raios
Passo 1
O enunciado dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio
onde
é o raio de Bohr, e pede:
a) a constante de normalização ;
b) a distância mais provável entre elétron e próton;
c) a probabilidade de encontrar o elétron entre as cascas esféricas de raios e
.
Vamos usar normalização em coordenadas esféricas e a densidade radial de probabilidade.
a) a constante de normalização
b) a distância mais provável entre elétron e próton;
c) a probabilidade de encontrar o elétron entre as cascas esféricas de raios
Vamos usar normalização em coordenadas esféricas e a densidade radial de probabilidade.
Passo 2
Impondo
em coordenadas esféricas, temos
A parte angular dá
, logo
Usando
com
, obtemos
Logo
Passo 3
A densidade radial de probabilidade é
Para achar o máximo, derivamos
e igualamos a zero:
Portanto, a distância mais provável é
.
Passo 4
A probabilidade de achar o elétron entre
e
é
Como
, podemos escrever
onde fizemos
.
Passo 5
Calculando a integral
temos de
a
:
Logo
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)