Questão n^circ 2

Considere um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental. A função de onda para esse estado (fundamental) é dada por:
onde rB é o raio de Bohr.
psi(r, theta, varphi)=A e^-rrB
a) Obtenha a constante de normalização ( A );
b) Calcule a distância mais provável entre o elétron e o próton para esse estado (fundamental);
c) Calcule a probabilidade de se encontrar o elétron, no estado fundamental, entre duas cascas esféricas de raios 1 rB e 2 rB, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio
psi(r,theta,varphi)=A,e^-r/rB
onde rB é o raio de Bohr, e pede:
a) a constante de normalização A;
b) a distância mais provável entre elétron e próton;
c) a probabilidade de encontrar o elétron entre as cascas esféricas de raios rB e 2rB.
Vamos usar normalização em coordenadas esféricas e a densidade radial de probabilidade.

Passo 2

Impondo integral|psi|^2dV=1 em coordenadas esféricas, temos
1 = integral0^infty!integral0^pi!integral0^2pi A^2e^-2r/rB,r^2sintheta,dphi,dtheta,dr
A parte angular dá 4pi, logo
1 =4pi A^2integral0^inftyr^2e^-2r/rB,dr
Usando integral0^inftyr^2e^-a rdr=2a^3 com a=2/rB, obtemos
integral0^inftyr^2e^-2r/rBdr=2(2/rB)^3=rB^34
Logo
1=4pi A^2,rB^34;Longrightarrow;A^2,pi,rB^3=1 ;Longrightarrow; A=1raizpi,rB^3

Passo 3

A densidade radial de probabilidade é
P(r),dr =|psi|^24pi r^2dr =4pi A^2r^2e^-2r/rB,dr
Para achar o máximo, derivamos r^2e^-2r/rB e igualamos a zero:
ddrl(r^2e^-2r/rBr) = e^-2r/rBl(2r-tfrac2r^2rBr)=0 ;Longrightarrow; r=rB
Portanto, a distância mais provável é rB.

Passo 4

A probabilidade de achar o elétron entre rB e 2rB é
P=integralrB^2rB4pi A^2r^2e^-2r/rB,dr
Como pi A^2rB^3=1, podemos escrever
P =4pi A^2(2/rB)^3;(2/rB)^34integralrB^2rBr^2e^-2r/rB,dr =12integral2^4x^2e^-x,dx,
onde fizemos x=2r/rB.

Passo 5

Calculando a integral
integral x^2e^-xdx =-e^-x(x^2+2x+2),
temos de x=2 a x=4:
integral2^4x^2e^-xdx =l[-e^-x(x^2+2x+2)r]2^4 =10e^-2-26e^-4
Logo
P=12l(10e^-2-26e^-4r)approx0,439

Resposta

a) A=dfrac1raizpi,rB^3
b) rmais provável=rBá
c) P=tfrac12l(10e^-2-26e^-4r)approx0,439

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