Em um circuito elétrico, a potência dissipada ( em watts) em um componente depende da tensäo e da corrente segundo a funçāo
P(V, I)=V \cdot I
A tensão V e a corrente I variam ao longo do tempo t (em segundos) de acordo com:
V(t)=t^{2}+1 \text { e } I(t)=2 t
Pergunta:
Calcule a taxa de variação da potência em relação ao tempo no instante t=1, ou seja, determine \frac{d P}{d t} usando a regra da cadeía.
Passo 1
O enunciado dá a potência dissipada como função da tensão e da corrente:
P(V,I)=V\cdot I.
Também fornece como a tensão e a corrente variam com o tempo:
V(t)=t^{2}+1\quad\text{e}\quad I(t)=2t.
O que o problema pede é: calcular a taxa de variação da potência em relação ao tempo no instante t=1, ou seja determinar \dfrac{dP}{dt} em t=1 usando a regra da cadeia.
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aulas rápidas e gentis).
Quando P depende de V e I, e ambos V e I dependem de t, a derivada total de P em relação a t é dada por:
\dfrac{\partial P}{\partial V} é a derivada parcial de P tratando I como constante — mede quanto P muda quando V muda, com I fixo.
\dfrac{\partial P}{\partial I} é a derivada parcial de P tratando V como constante.
\dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dI}{dt} são as derivadas de V(t) e I(t) em relação a t.
Isso é a regra da cadeia para funções compostas: soma-se o efeito de cada variável independente (aqui V e I) multiplicado pelo quanto essa variável muda no tempo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de P(V,I)=V\cdot I.
Ao derivar em relação a V com I fixo: