QUESTẢO 1

Em um circuito elétrico, a potência dissipada ( em watts) em um componente depende da tensäo e da corrente segundo a funçāo
P(V, I)=V \cdot I
A tensão V e a corrente I variam ao longo do tempo t (em segundos) de acordo com:
V(t)=t^{2}+1 \text { e } I(t)=2 t
Pergunta:
Calcule a taxa de variação da potência em relação ao tempo no instante t=1, ou seja, determine \frac{d P}{d t} usando a regra da cadeía.

Passo 1

O enunciado dá a potência dissipada como função da tensão e da corrente:
P(V,I)=V\cdot I.
Também fornece como a tensão e a corrente variam com o tempo:
V(t)=t^{2}+1\quad\text{e}\quad I(t)=2t.
O que o problema pede é: calcular a taxa de variação da potência em relação ao tempo no instante t=1, ou seja determinar \dfrac{dP}{dt} em t=1 usando a regra da cadeia.

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aulas rápidas e gentis).
Quando P depende de V e I, e ambos V e I dependem de t, a derivada total de P em relação a t é dada por:
\frac{dP}{dt}=\frac{\partial P}{\partial V}\frac{dV}{dt}+\frac{\partial P}{\partial I}\frac{dI}{dt}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial P}{\partial V} é a derivada parcial de P tratando I como constante — mede quanto P muda quando V muda, com I fixo.
  • \dfrac{\partial P}{\partial I} é a derivada parcial de P tratando V como constante.
  • \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dI}{dt} são as derivadas de V(t) e I(t) em relação a t.
Isso é a regra da cadeia para funções compostas: soma-se o efeito de cada variável independente (aqui V e I) multiplicado pelo quanto essa variável muda no tempo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de P(V,I)=V\cdot I.
Ao derivar em relação a V com I fixo:
\frac{\partial P}{\partial V}=I.
Ao derivar em relação a I com V fixo:
\frac{\partial P}{\partial I}=V.

Passo 4

Calcular as derivadas temporais de V(t) e I(t).
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t.
\frac{dI}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2.

Passo 5

Substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{dP}{dt}= \underbrace{I}_{\frac{\partial P}{\partial V}}\cdot\underbrace{2t}_{\frac{dV}{dt}} \;+\; \underbrace{V}_{\frac{\partial P}{\partial I}}\cdot\underbrace{2}_{\frac{dI}{dt}}.
Agora usar as expressões V(t) e I(t) para avaliar em t=1.

Passo 6

Avaliar V(1), I(1) e as derivadas em t=1:
V(1)=1^{2}+1=2,\qquad I(1)=2\cdot1=2,
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=1}=2\cdot1=2,\qquad \frac{dI}{dt}=2.

Passo 7

Calcular \dfrac{dP}{dt} em t=1 substituindo os valores:
\frac{dP}{dt}\Big|_{t=1}=I(1)\cdot\bigl(2\cdot1\bigr)+V(1)\cdot 2 = 2\cdot 2 + 2\cdot 2 = 4+4=8.

Passo 8

(Verificação alternativa, por puro prazer matemático)
Pode-se também formar a função composta P(t)=V(t)I(t):
P(t)=\bigl(t^{2}+1\bigr)\cdot(2t)=2t^{3}+2t.
Derivando diretamente (regra do produto/derivada de polinômios):
\frac{dP}{dt}=6t^{2}+2,
e avaliando em t=1:
\frac{dP}{dt}\Big|_{t=1}=6\cdot1^{2}+2=6+2=8,
o que confere com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{dP}{dt}\Big|_{t=1}=8\\ \text{W/s}

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