Questão 1. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas (1,0 pontos cada item).
(a) O conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid y in Z é subespaço vetorial de R^3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W = (x,y,z)inR^3 mid yinZ
é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
0 = (0,0,0). Aqui y=0, e 0inZ, logo 0in W. Essa condição está ok.

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma: sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Como y1,y2inZ, temos
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e y1+y2inZ. Portanto u+vin W. Fechamento sob soma vale.

Passo 4

Verificamos fechamento sob escalar: escolha por exemplo
u=(1,1,0)in W pois 1inZ. Pegue o escalar alpha = tfrac12. Então
alpha u = l(tfrac12,;tfrac12,;0r)
Aqui tfrac12notinZ, logo alpha unotin W. Falha o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como não há fechamento sob multiplicação por escalar, W não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

A afirmação é falsa.

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