Questão 1. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas (1,0 pontos cada item).
(a) O conjunto
é subespaço vetorial de
(a) O conjunto
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, lembramos que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero:
. Aqui
, e
, logo
. Essa condição está ok.
Passo 3
Verificamos fechamento sob soma: sejam
e
em
. Como
, temos
e
. Portanto
. Fechamento sob soma vale.
Passo 4
Verificamos fechamento sob escalar: escolha por exemplo
pois
. Pegue o escalar
. Então
Aqui
, logo
. Falha o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como não há fechamento sob multiplicação por escalar,
não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.
Resposta
A afirmação é falsa.