Questão 5. Sejam
dois conjuntos limitados superiormente e não-vazios. Prove que o conjunto
é limitado superiormente e não-vazio, e que além disso vale
Passo 1
O enunciado dá duas hipóteses claras:
-
e são conjuntos não-vazios; -
e são limitados superiormente (ou seja, cada um tem pelo menos um majorante).
O que é pedido:
- provar que o conjunto
é não-vazio e limitado superiormente;
- provar que
Passo 2
Mostrar que
é não-vazio.
Como
e
são não-vazios, existe
e existe
. Então
é um número real pertencente a
por definição do conjunto soma. Portanto
.
Passo 3
Lembrando o que é supremum (uma mini-aula):
- Dado um conjunto
não-vazio e limitado superiormente, é o menor dos majorantes de . Isso significa duas coisas: - Para todo
vale (ou seja, é um majorante). - Se
é qualquer outro majorante de (isto é, se para todo ), então (é o menor majorante).
- Para todo
Esse é o conceito que usaremos.
Passo 4
Provar que
é limitado superiormente.
Peguemos
e
. Como
é majorante de
temos
. Como
é majorante de
temos
. Somando as desigualdades obtemos
Isto vale para todo
e todo
. Logo
é um majorante de
. Portanto
é limitado superiormente. (Como já mostramos que
não é vazio, a existência de
está garantida pelo axioma de completude de
.)
Passo 5
Mostrar a desigualdade
.
Do passo anterior sabemos que
é um majorante de
. Como
é o menor majorante de
, segue imediatamente
Passo 6
Mostrar a desigualdade
(a outra direção, que dará a igualdade).
Vamos usar o argumento-padrão com
-aproximações: propriedade útil do supremum — para qualquer conjunto
não-vazio e limitado superiormente, e para todo
, existe
tal que
(Se isso não ocorresse para algum
, então
seria um majorante menor que
, contradizendo a minimalidade de
.)
Agora tome um
arbitrário. Aplicando a propriedade acima aos conjuntos
e
com
obtemos:
- existe
tal que ; - existe
tal que .
Somando as duas desigualdades estritas (as partes baixas) segue
isto é,
Como
, o número
pertence a
e portanto não pode exceder
. Assim
Portanto
Como a desigualdade vale para todo
arbitrário, passando ao limite (ou dizendo que não se pode ficar sempre à distância positiva), concluímos
Passo 7
Concluir a igualdade.
Dos passos 5 e 6 temos as duas desigualdades opostas:
Combinando-as obtemos a igualdade desejada: