Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
\omega^{\prime}=-\frac{1}{x} \omega+e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\omega' = -\frac{1}{x}\,\omega + e^{x}.
O que precisamos fazer é:
– Classificar a ODE (linear, separável, homogênea ou Bernoulli).
– Encontrar a solução geral \omega(x).

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, temos
\omega' + \frac{1}{x}\,\omega = e^{x}.
Comparando com \omega' + P(x)\,\omega = Q(x), vemos que
P(x)=\frac{1}{x}, \quad Q(x)=e^{x}.
Logo, esta equação é
– linear de primeira ordem;
– não é separável (não se escreve como f(\omega)\,\mathrm{d}x = g(x)\,\mathrm{d}\omega);
– não é homogênea no sentido de Q(x)=0;
– não é da forma não-linear de Bernoulli (o caso Bernoulli teria um termo \omega^n com n\neq1).

Passo 3

Para resolver usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,\mathrm{d}x\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\Bigr) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Assumindo x>0 para simplificar, tomamos \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x:
x\,\omega' + \omega = x\,e^{x}.
O lado esquerdo é a derivada de x\,\omega, pois
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\,\omega\bigr) = x\,\omega' + 1\cdot\omega.
Logo obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\,\omega\bigr) = x\,e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,\omega = \int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x.
Para calcular \displaystyle \int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x usamos integração por partes, tomando
u = x,\quad \mathrm{d}v = e^{x}\,\mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}u = \mathrm{d}x,\quad v = e^{x}.
Então
\int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = x\,e^{x} - \int 1\cdot e^{x}\,\mathrm{d}x = x\,e^{x} - e^{x} + C.
Portanto
x\,\omega = x\,e^{x} - e^{x} + C.

Passo 6

Isolando \omega, obtemos a solução geral
\omega(x) = e^{x} - \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x} = e^{x}\Bigl(1 - \tfrac{1}{x}\Bigr) + \frac{C}{x},
onde C é a constante de integração.

Resposta

A equação é linear de primeira ordem (não separável, não homogênea, não é Bernoulli não-linear) e sua solução geral é
\boxed{\omega(x)=e^{x}\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr) + \frac{C}{x}.}

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