Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O que precisamos fazer é:
– Classificar a ODE (linear, separável, homogênea ou Bernoulli).
– Encontrar a solução geral .
– Classificar a ODE (linear, separável, homogênea ou Bernoulli).
– Encontrar a solução geral
Passo 2
Reescrevendo no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, temos
Comparando com
, vemos que
Logo, esta equação é
– linear de primeira ordem;
– não é separável (não se escreve como );
– não é homogênea no sentido de ;
– não é da forma não-linear de Bernoulli (o caso Bernoulli teria um termo com
).
– linear de primeira ordem;
– não é separável (não se escreve como
– não é homogênea no sentido de
– não é da forma não-linear de Bernoulli (o caso Bernoulli teria um termo
Passo 3
Para resolver usamos o fator integrante
Assumindo
para simplificar, tomamos
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Logo obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
usamos integração por partes, tomando
Então
Portanto
Passo 6
Isolando
, obtemos a solução geral
onde
é a constante de integração.
Resposta
A equação é linear de primeira ordem (não separável, não homogênea, não é Bernoulli não-linear) e sua solução geral é