Questão 4. Classifique e calcule a soma da série geométrica (se convergente):
Passo 1
O enunciado pede para classificar e calcular a soma (se convergente) da série infinita
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A série é escrita como uma soma de potências de uma mesma constante: os termos são
para . - O termo inicial (quando
) é . - A razão entre termos consecutivos é
.
O que precisamos responder:
- Classificar a série: convergente ou divergente.
- Se for convergente, calcular a soma.
Passo 2
Vamos recordar o que é uma série geométrica e a condição de convergência, passo a passo e com derivação clara.
Definição e notação:
- Uma série geométrica infinita geral tem a forma
onde
é o primeiro termo (quando
) e
é a razão comum entre termos consecutivos.
Fórmula da soma parcial e como se obtém:
- Seja
a soma dos primeiros termos:
- Multiplicando por
e subtraindo, obtemos a identidade clássica:
portanto
- Fatorando
e , temos a fórmula das somas parciais:
válida para
.
Condição de convergência:
- Se
, então quando . Assim a soma infinita converge e
- Se
, os termos não vão a zero (ou a soma parcial não estabiliza), e a série diverge.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: comparar com a forma
.
- O primeiro termo é
- A razão é
Agora verifiquemos a condição de convergência:
Como
, a condição
é satisfeita, logo a série é convergente.
Passo 4
Cálculo da soma usando a fórmula
:
- Substituindo
e ,
- Simplificando o denominador:
- Portanto a soma é
Passo 5
Pequena verificação numérica para sentir o comportamento (opcional, mas útil):
- Soma parcial com
: . - Soma parcial com
: .
Essas somas parciais oscilam em torno do valor limite , comportamento típico quando é negativo.
Resposta
Convergente
Soma =
Soma =