Questão 4. Classifique e calcule a soma da série geométrica (se convergente):
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar e calcular a soma (se convergente) da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é escrita como uma soma de potências de uma mesma constante: os termos são \left(-\dfrac{2}{5}\right)^{n} para n=0,1,2,\dots.
  • O termo inicial (quando n=0) é \left(-\dfrac{2}{5}\right)^{0}.
  • A razão entre termos consecutivos é -\dfrac{2}{5}.
O que precisamos responder:
  • Classificar a série: convergente ou divergente.
  • Se for convergente, calcular a soma.

Passo 2

Vamos recordar o que é uma série geométrica e a condição de convergência, passo a passo e com derivação clara.
Definição e notação:
  • Uma série geométrica infinita geral tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum entre termos consecutivos.
Fórmula da soma parcial e como se obtém:
  • Seja S_N a soma dos primeiros N+1 termos:
S_N = a + ar + ar^{2} + \dots + ar^{N}.
  • Multiplicando por r e subtraindo, obtemos a identidade clássica:
rS_N = ar + ar^{2} + \dots + ar^{N} + ar^{N+1},
portanto
S_N - rS_N = a - ar^{N+1}.
  • Fatorando S_N(1-r) e a(1-r^{N+1}), temos a fórmula das somas parciais:
S_N = \frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r},
válida para r\neq 1.
Condição de convergência:
  • Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim a soma infinita converge e
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, os termos não vão a zero (ou a soma parcial não estabiliza), e a série diverge.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: comparar com a forma a r^{n}.
  • O primeiro termo é
a = \left(-\frac{2}{5}\right)^{0} = 1.
  • A razão é
r = -\frac{2}{5}.
Agora verifiquemos a condição de convergência:
|r| = \left| -\frac{2}{5} \right| = \frac{2}{5}.
Como \dfrac{2}{5}<1, a condição |r|<1 é satisfeita, logo a série é convergente.

Passo 4

Cálculo da soma usando a fórmula \dfrac{a}{1-r}:
  • Substituindo a=1 e r=-\dfrac{2}{5},
\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n} = \frac{1}{1 - \left(-\dfrac{2}{5}\right)}.
  • Simplificando o denominador:
1 - \left(-\frac{2}{5}\right) = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}.
  • Portanto a soma é
\frac{1}{\tfrac{7}{5}} = \frac{5}{7}.

Passo 5

Pequena verificação numérica para sentir o comportamento (opcional, mas útil):
  • Soma parcial com N=1: 1 + \left(-\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{3}{5} = 0,6.
  • Soma parcial com N=2: 1 - \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{19}{25} = 0,76.
    Essas somas parciais oscilam em torno do valor limite \dfrac{5}{7}\approx 0{,}714285\ldots, comportamento típico quando r é negativo.

Resposta

Convergente
Soma = \dfrac{5}{7}

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