Questão 6. A série a seguir converge ou diverge?
Compare com a série harmônica clássica.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a série
. - Pergunta 1: essa série converge ou diverge?
- Pergunta 2: comparar com a série harmônica clássica
.
Passo 2
Introdução e ferramenta principal (p-séries / teste da integral).
- Uma p-série tem a forma
. Há um resultado padrão: a p-série converge se, e somente se, ; diverge se . - Vou justificar esse resultado com o teste da integral (que é uma ferramenta muito prática): comparar a série com a integral da função contínua e decrescente
, para . - Calcule a integral imprópria
. - Se
então , logo quando . Assim a integral converge (valor finito). - Se
então , logo quando . Assim a integral diverge.
logo também diverge. - Se
- Pelo teste da integral (função positiva, decrescente), a série
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) da integral acima. Conclusão: converge iff .
Passo 3
Aplicando ao problema concreto.
- A série dada é
. - Aqui
. Como , pela condição da p-série a série diverge.
Passo 4
Outro argumento (comparação direta com a harmônica) — jeito simples e intuitivo.
- Para todo
vale , portanto - A série harmônica
é conhecida por divergir. - Pela comparação direta (os termos são positivos): se
para todo e diverge, então também diverge. Aplicando com e obtemos que diverge. - Esse argumento responde também à comparação pedida com a série harmônica: os termos de
são maiores termo a termo que os de , por isso a primeira não pode convergir se a harmônica diverga.
Passo 5
Intuição sobre a taxa de divergência (útil para a prova).
- Pelo teste da integral, as somas parciais até
, comportam-se (para grande) como a integral . - Calcule a integral
- Como
quando , as somas parciais crescem sem limite (crescem aproximadamente como ). Isso dá uma ideia clara de por que diverge: as parcelas somam rápido o suficiente para fazer a soma ir a infinito.
Resposta
Diverge.
Comparação com a harmônica: para tem
; como
diverge, a série dada também diverge.
Comparação com a harmônica: para