Questão 6. A série a seguir converge ou diverge?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
Compare com a série harmônica clássica.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
  • Pergunta 1: essa série converge ou diverge?
  • Pergunta 2: comparar com a série harmônica clássica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 2

Introdução e ferramenta principal (p-séries / teste da integral).
  • Uma p-série tem a forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}. Há um resultado padrão: a p-série converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
  • Vou justificar esse resultado com o teste da integral (que é uma ferramenta muito prática): comparar a série com a integral da função contínua e decrescente f(x)=x^{-p}, para x\ge1.
  • Calcule a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. \text{Para }p\neq 1:\qquad \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}.
    • Se p>1 então 1-p<0, logo x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty. Assim a integral converge (valor finito).
    • Se p<1 então 1-p>0, logo x^{1-p}\to\infty quando x\to\infty. Assim a integral diverge.
    \text{Para }p=1:\qquad \int_{1}^{\infty} x^{-1}\,dx = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\ln t = \infty,logo também diverge.
  • Pelo teste da integral (função positiva, decrescente), a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) da integral acima. Conclusão: converge iff p>1.

Passo 3

Aplicando ao problema concreto.
  • A série dada é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
  • Aqui p=\tfrac{1}{2}. Como \tfrac{1}{2}\le 1, pela condição da p-série a série diverge.

Passo 4

Outro argumento (comparação direta com a harmônica) — jeito simples e intuitivo.
  • Para todo n\ge 1 vale \sqrt{n}\le n, portanto \frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{n}.
  • A série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é conhecida por divergir.
  • Pela comparação direta (os termos são positivos): se \displaystyle a_n\ge b_n\ge 0 para todo n e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge. Aplicando com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} e b_n=\dfrac{1}{n} obtemos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge.
  • Esse argumento responde também à comparação pedida com a série harmônica: os termos de \dfrac{1}{\sqrt{n}} são maiores termo a termo que os de \dfrac{1}{n}, por isso a primeira não pode convergir se a harmônica diverga.

Passo 5

Intuição sobre a taxa de divergência (útil para a prova).
  • Pelo teste da integral, as somas parciais até N, S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n}},comportam-se (para N grande) como a integral \int_{1}^{N} x^{-1/2}\,dx.
  • Calcule a integral \int_{1}^{N} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{N} = 2\bigl(\sqrt{N}-1\bigr).
  • Como \sqrt{N}\to\infty quando N\to\infty, as somas parciais crescem sem limite (crescem aproximadamente como 2\sqrt{N}). Isso dá uma ideia clara de por que diverge: as parcelas somam rápido o suficiente para fazer a soma ir a infinito.

Resposta

Diverge.
Comparação com a harmônica: para n\ge 1 tem \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ge \dfrac{1}{n}; como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, a série dada também diverge.

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