e pede para estudar a convergência (ou divergência). Informações úteis extraídas do enunciado:
O termo geral é a_n=\dfrac{\ln n}{n}.
A soma começa em n=2 e vai até o infinito.
Os termos a_n são positivos para todo n\ge 2 porque \ln n>0 quando n\ge2.
O que precisamos responder: a série converge (tem soma finita) ou diverge (as somas parciais crescem sem limite)?
Passo 2
Escolha do método. Há várias maneiras de testar essa série: teste da integral, comparação direta com a série harmônica, teste de condensação de Cauchy etc. Vou usar a comparação direta com a série harmônica \sum 1/n porque é o caminho mais curto e didático aqui. Depois mostro em anexo (como alternativa) o teste da integral para reforçar a ideia.
Lembrete curto sobre o que vamos usar:
Série harmônica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} diverge. Vou justificar isso em seguida.
Se para todo n a partir de algum N tivermos a_n \ge b_n\ge 0 e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge (comparação direta).
Passo 3
Provar (ou recordar) que a série harmônica diverge. Um argumento simples é pelo teste da integral. Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x} para x\ge1. Então
Pelo teste da integral (função positiva e decrescente), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
também diverge. Portanto a série harmônica é divergente.
Passo 4
Encontrar uma desigualdade simples entre \dfrac{\ln n}{n} e \dfrac{1}{n} para n grandes. Note que a função \ln x é crescente, e \ln 3>1 pois \ln 3\approx1{,}0986. Logo, para todo n\ge 3 vale
\ln n \ge \ln 3 > 1.
A partir disso, para n\ge 3 obtemos
\frac{\ln n}{n} \ge \frac{1}{n}.
Passo 5
Aplicar o teste de comparação direta. Defina a_n=\dfrac{\ln n}{n} e b_n=\dfrac{1}{n}. Para todo n\ge 3 temos a_n\ge b_n e já sabemos que \sum_{n=3}^\infty b_n diverge (é uma cauda da série harmônica). Pelo teste de comparação direta, a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\ln n}{n}
diverge. Como a diferença entre somar a partir de n=2 ou de n=3 é apenas um termo finito (a_2=\dfrac{\ln 2}{2}), a série original
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n}
também diverge.
Passo 6
(Alternativa pedagógica) Usando o teste da integral como verificação: considere f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x\ge2. Faça a substituição u=\ln x, du=\dfrac{dx}{x}. Então
Pelo teste da integral (função positiva e, a partir de x>e, decrescente), a série \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge. Isso confirma o resultado da comparação direta.