Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
\left(3 x^{2}+1\right) y^{\prime}-2 x y=6 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(3x^{2}+1)\,y' - 2x\,y = 6x
O que é pedido:
  • Classificar a equação diferencial (que tipo ela é).
  • Determinar a solução geral (a família de soluções com constante arbitrária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a derivada primeira y' e a função y.
  • Os coeficientes são funções de x: 3x^{2}+1 e -2x.
  • O termo independente do lado direito é 6x.

Passo 2

Colocar a equação em uma forma padrão que facilita a resolução.
Para trabalhar com métodos padrão é conveniente escrever a equação na forma
y' + p(x)\,y = q(x).
Dividindo a equação dada por 3x^{2}+1 (observe que 3x^{2}+1>0 para todo x, então essa divisão é válida para todos os x), obtemos
y' - \frac{2x}{3x^{2}+1}\,y = \frac{6x}{3x^{2}+1}.
Aqui identificamos
p(x) = -\frac{2x}{3x^{2}+1}, \qquad q(x)=\frac{6x}{3x^{2}+1}.

Passo 3

Escolher o método e explicar por que: a equação está na forma y'+p(x)y=q(x), que é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. O método mais direto é usar o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
O fator integrante transforma a equação de modo que o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x).
Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx\right).
Para calcular a integral, faça a substituição u=3x^{2}+1. Então du=6x\,dx, ou equivalentemente -\dfrac{2x\,dx}{3x^{2}+1} = -\dfrac{1}{3}\,\dfrac{du}{u}. Assim
\int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\ln|u| = -\frac{1}{3}\ln(3x^{2}+1).
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(-\frac{1}{3}\ln(3x^{2}+1)\right) = (3x^{2}+1)^{-1/3}.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando
(3x^{2}+1)^{-1/3}\left[y' - \frac{2x}{3x^{2}+1}y\right] = (3x^{2}+1)^{-1/3}\cdot\frac{6x}{3x^{2}+1}.
Pelo modo de construção de \mu, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y, isto é,
\frac{d}{dx}\!\left[(3x^{2}+1)^{-1/3}y\right] = \frac{6x}{(3x^{2}+1)^{4/3}}.

Passo 6

Integrar ambos os lados para obter \mu(x)y.
Integramos em relação a x:
(3x^{2}+1)^{-1/3}y = \int \frac{6x}{(3x^{2}+1)^{4/3}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, use novamente u=3x^{2}+1, du=6x\,dx. Então
\int \frac{6x}{(3x^{2}+1)^{4/3}}\,dx = \int u^{-4/3}\,du = \frac{u^{-1/3}}{-1/3} + \tilde C = -3\,u^{-1/3} + \tilde C.
Tomando uma única constante de integração C (que absorve \tilde C), obtemos
(3x^{2}+1)^{-1/3}y = -3\,(3x^{2}+1)^{-1/3} + C.

Passo 7

Isolar y e simplificar a solução geral.
Multiplicando pelos inversos, isto é, por (3x^{2}+1)^{1/3}, temos
y = -3 + C\,(3x^{2}+1)^{1/3}.
Renomeando a constante C (por exemplo C\in\mathbb{R}), esta é a família geral de soluções.

Resposta

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
A solução geral é
y(x)=C\,(3x^{2}+1)^{1/3}-3,
onde C é constante real.

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