Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
\left(3 x^{2}+1\right) y^{\prime}-2 x y=6 x
\left(3 x^{2}+1\right) y^{\prime}-2 x y=6 x
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que é pedido:
- Classificar a equação diferencial (que tipo ela é).
- Determinar a solução geral (a família de soluções com constante arbitrária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve a derivada primeira
e a função . - Os coeficientes são funções de
: e . - O termo independente do lado direito é
.
Passo 2
Colocar a equação em uma forma padrão que facilita a resolução.
Para trabalhar com métodos padrão é conveniente escrever a equação na forma
Dividindo a equação dada por
(observe que
para todo
, então essa divisão é válida para todos os
), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Escolher o método e explicar por que: a equação está na forma
, que é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. O método mais direto é usar o fator integrante
definido por
O fator integrante transforma a equação de modo que o lado esquerdo seja a derivada do produto
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
.
Temos
Para calcular a integral, faça a substituição
. Então
, ou equivalentemente
. Assim
Portanto
Passo 5
Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando
Pelo modo de construção de
, o lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter
.
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, use novamente
,
. Então
Tomando uma única constante de integração
(que absorve
), obtemos
Passo 7
Isolar
e simplificar a solução geral.
Multiplicando pelos inversos, isto é, por
, temos
Renomeando a constante
(por exemplo
), esta é a família geral de soluções.
Resposta
A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
A solução geral é
A solução geral é
onde
é constante real.