Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2} y^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+3x^{2}y=x^{2}y^{1/2}
e pede duas coisas: (i) classificar a equação; (ii) determinar a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y' (derivada primeira), termos em y e em y^{1/2}.
  • Deve-se encontrar a família de soluções gerais (constante de integração C aparecerá).

Passo 2

Verificar a forma da equação e escolher uma transformação conveniente.
  • A equação é de primeira ordem (apenas y' aparece), e é não linear por causa do termo y^{1/2}.
  • A equação pode ser escrita como
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com P(x)=3x^{2}, Q(x)=x^{2} e n=\tfrac{1}{2}. Esta é a forma padrão onde se aplica a substituição de Bernoulli. (Não é preciso memorizar o nome para a prova, basta saber a técnica: tornar a equação linear por uma mudança de variável.)

Passo 3

Aplicar a substituição apropriada para linearizar.
  • Para a forma acima, usa-se a substituição u=y^{1-n}. Aqui 1-n=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, então definimos
u = y^{1/2}.
  • Diferenciando u em relação a x:
u'=\frac{1}{2}y^{-1/2}y'.
  • Isolando y' em função de u':
y' = 2y^{1/2}u' = 2u\,u'.

Passo 4

Substituir y e y' em termos de u na equação original e simplificar.
  • Substituindo y'=2u\,u' e y=u^{2} na equação
y'+3x^{2}y=x^{2}y^{1/2}
obtém-se
2u\,u' + 3x^{2}u^{2} = x^{2}u.
  • Como u pode ser zero em soluções especiais, trataremos isso à parte; supondo u\neq0 dividimos por 2u:
u' + \frac{3}{2}x^{2}u = \frac{1}{2}x^{2}.
  • Essa é uma equação linear de primeira ordem em u(x).

Passo 5

Resolver a equação linear por fator integrante.
  • A equação tem a forma u' + a(x) u = b(x) com a(x)=\tfrac{3}{2}x^{2} e b(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}.
  • O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int a(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \tfrac{3}{2}x^{2}dx\right)=\exp\!\left(\tfrac{x^{3}}{2}\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos a forma total derivada:
\big(\mu u\big)'=\mu\,b(x)=\exp\!\left(\tfrac{x^{3}}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}x^{2}.

Passo 6

Integrar e isolar u.
  • Integramos ambos os lados:
\mu(x)u(x)=\int \frac{1}{2}x^{2}\exp\!\left(\tfrac{x^{3}}{2}\right)\,dx + C.
  • Para calcular a integral, faça a substituição t=\tfrac{x^{3}}{2}. Então dt=\tfrac{3}{2}x^{2}dx, logo x^{2}dx=\tfrac{2}{3}dt. Assim
\int \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{3}/2}\,dx=\int \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}e^{t}\,dt=\frac{1}{3}e^{t}+\text{const}=\frac{1}{3}e^{x^{3}/2}+\text{const}.
  • Portanto
\exp\!\left(\tfrac{x^{3}}{2}\right)u(x)=\frac{1}{3}\exp\!\left(\tfrac{x^{3}}{2}\right)+C,
onde C é constante de integração.
  • Dividindo por \exp(x^{3}/2) resulta
u(x)=\frac{1}{3}+C\exp\!\left(-\tfrac{x^{3}}{2}\right).

Passo 7

Voltar à variável y e discutir soluções especiais e domínio.
  • Lembrando u=y^{1/2}, obtemos a família de soluções (para y\ge0, pois usamos raiz quadrada real):
y(x)=\left(\frac{1}{3}+C\exp\!\left(-\tfrac{x^{3}}{2}\right)\right)^{2},
com constante arbitrária C\in\mathbb{R}, desde que a expressão entre parênteses seja não negativa no intervalo considerado (para manter u como raiz principal) — na prática a equação original só faz sentido real quando y\ge0.
  • Há também a solução constante especial obtida ao considerar u\equiv0, que dá y\equiv0. Verificação rápida: se y\equiv0 então y'=0 e ambos os lados da equação valem zero, então é solução válida.

Resposta

y(x)=\left(\dfrac{1}{3}+C\exp\!\left(-\dfrac{x^{3}}{2}\right)\right)^{2},\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

Exercícios relacionados