Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2} y^{1 / 2}
y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2} y^{1 / 2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) classificar a equação; (ii) determinar a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
(derivada primeira), termos em e em . - Deve-se encontrar a família de soluções gerais (constante de integração
aparecerá).
Passo 2
Verificar a forma da equação e escolher uma transformação conveniente.
- A equação é de primeira ordem (apenas
aparece), e é não linear por causa do termo . - A equação pode ser escrita como
com
,
e
. Esta é a forma padrão onde se aplica a substituição de Bernoulli. (Não é preciso memorizar o nome para a prova, basta saber a técnica: tornar a equação linear por uma mudança de variável.)
Passo 3
Aplicar a substituição apropriada para linearizar.
- Para a forma acima, usa-se a substituição
. Aqui , então definimos
- Diferenciando
em relação a :
- Isolando
em função de :
Passo 4
Substituir
e
em termos de
na equação original e simplificar.
- Substituindo
e na equação
obtém-se
- Como
pode ser zero em soluções especiais, trataremos isso à parte; supondo dividimos por :
- Essa é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Resolver a equação linear por fator integrante.
- A equação tem a forma
com e . - O fator integrante é
- Multiplicando a equação por
obtemos a forma total derivada:
Passo 6
Integrar e isolar
.
- Integramos ambos os lados:
- Para calcular a integral, faça a substituição
. Então , logo . Assim
- Portanto
onde
é constante de integração.
- Dividindo por
resulta
Passo 7
Voltar à variável
e discutir soluções especiais e domínio.
- Lembrando
, obtemos a família de soluções (para , pois usamos raiz quadrada real):
com constante arbitrária
, desde que a expressão entre parênteses seja não negativa no intervalo considerado (para manter
como raiz principal) — na prática a equação original só faz sentido real quando
.
- Há também a solução constante especial obtida ao considerar
, que dá . Verificação rápida: se então e ambos os lados da equação valem zero, então é solução válida.