Questão 1

código de prova
Encontre os níveis de energia de uma partícula de spin 3 / 2, cuja hamiltoniana é dada por
widehatH=alphahbar^2(Sx^2+Sy^2-2 Sz^2)-betahbar Sz
onde alpha e beta são constantes. Estes níveis são degenerados?

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores da hamiltoniana de uma partícula de spin s=3/2,
widehatH=alphahbar^2l(Sx^2+Sy^2-2Sz^2r);-;betahbar,Sz,
usando propriedades dos operadores de spin ( S^2 e Sz). No final, vamos verificar se há níveis degenerados.

Passo 2

Usamos a identidade
Sx^2+Sy^2 ;=;S^2-Sz^2
Substituindo em widehatH temos
widehatH =alphahbar^2l(S^2-Sz^2-2Sz^2r)-betahbar,Sz =alphahbar^2l(S^2-3Sz^2r)-betahbar,Sz

Passo 3

No autovetor lvert s,mrang<= de S^2 e Sz vale
S^2lvert s,mrang<= = hbar^2s(s+1)lvert s,mrang<=, Szlvert s,mrang<= = hbar,mlvert s,mrang<=
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widehatH,lvert s,mrang<= =l[alphahbar^2l(hbar^2s(s+1)-3hbar^2m^2r) -beta,mr]lvert s,mrang<=

Passo 4

Para s=3/2 temos s(s+1)=3/2cdot5/2=15/4. Assim o autovalor Em é
Em =alphahbar^2l(hbar^2tfrac154-3hbar^2m^2r) -beta,m =154alpha -3alpha,m^2-beta,m,
com min+tfrac32,+tfrac12,-tfrac12,-tfrac32.

Passo 5

Substituindo cada m:
m=+tfrac32:& E+tfrac32=-3alpha-tfrac32beta, m=+tfrac12:& E+tfrac12=+3alpha-tfrac12beta, m=-tfrac12:& E-tfrac12=+3alpha+tfrac12beta, m=-tfrac32:& E-tfrac32=-3alpha+tfrac32beta

Passo 6

Em geral, para betaneq0 os quatro valores são diferentes (não há degenerescência).
Se beta=0, aparece degenerescência dupla entre m=pm3/2 e entre m=pm1/2.

Resposta

Em=154alpha-3alpha,m^2-beta,m, m=pmtfrac32,,pmtfrac12
Não há degenerescência para betaneq0. Se beta=0, cada nível com lvert mrvert fixo é duplamente degenerado.

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