Questão 3

código de prova
Partindo das equações de Maxwell, no vácuo e na presença de uma densidade de corrente elétrica :
(a) Obtenha a equação que expressa a conservação da carga (equação da continuidade).
(b) Obtenha a equação que expressa a conservação da energia (teorema de Poynting).
(c) Obtenha a lei de Faraday na sua forma macroscópica (isto é, a lei que relaciona a forca eletromotriz em um circuito fechado com a variação do fluxo do campo magnético através da área limitada por esse circuito).

Passo 1

O enunciado pede, a partir das equações de Maxwell no vácuo com densidade de corrente livre Jf,
– (a) a equação da continuidade (conservação de carga),
– (b) o teorema de Poynting (conservação de energia eletromagnética),
– (c) a lei de Faraday na forma macroscópica.
As equações de Maxwell que vamos usar são
&nablacdot E = rhofvarepsilon0, &nablatimes E = -partial Bpartial t, &nablacdot B = 0, &nablatimes B = mu0,Jf + mu0,varepsilon0,partial Epartial t

Passo 2

Para obter a conservação de carga, aplicamos nablacdot em
nablatimes B = mu0,Jf + mu0,varepsilon0,partial Epartial t
Como nablacdot(nablatimes B)=0, fica
0 = mu0,nablacdot Jf ;+;mu0,varepsilon0,nablacdotpartial Epartial t =mu0l(nablacdot Jf + partialpartial t(nablacdot E)varepsilon0r)
Substituindo varepsilon0,nablacdot E=rhof (lei de Gauss), obtemos
nablacdot Jf + partial rhofpartial t = 0,
que é a equação da continuidade.

Passo 3

Para o teorema de Poynting, consideramos o escalar
Ecdot(nablatimes B) - Bcdot(nablatimes E)
e usamos as equações de Maxwell e a identidade vetorial
Ecdot(nablatimes B) - Bcdot(nablatimes E) = nablacdot(Etimes B)
Substituindo nablatimes B e nablatimes E, obtemos
Ecdotl(mu0Jf+mu0varepsilon0partialtEr) - Bcdotl(-partialtBr) = nablacdot(EtimesB)
Reagrupando termos e dividir por mu0, chega-se a
partialpartial tl(tfrac12varepsilon0E^2+tfrac12mu0B^2r) + nablacdotl(tfrac1mu0EtimesBr) + Ecdot Jf = 0,
onde u=tfrac12(varepsilon0E^2+B^2/mu0) é a densidade de energia e
S=tfrac1mu0EtimesB é o vetor de Poynting.

Passo 4

Para a lei de Faraday macroscópica, integramos
nablatimes E = -partialtB
sobre uma superfície S limitada por uma curva fechada C e usamos o teorema de Stokes:
ointCEcdot dell = integralS (nablatimes E)cdot dA = -integralS partial Bpartial tcdot dA = -ddt!!integralSBcdot dA
Isso relaciona a fem induzida ao declínio temporal do fluxo magnético.

Resposta

(a) nablacdot Jf + partial rhofpartial t = 0
(b) partialpartial tl(tfrac12varepsilon0E^2+tfrac12mu0B^2r) + nablacdotl(tfrac1mu0EtimesBr) + Ecdot Jf = 0
(c) ointCEcdot dell = -ddt!!integralSBcdot dA

Exercícios relacionados