Questão 3
código de prova
Partindo das equações de Maxwell, no vácuo e na presença de uma densidade de corrente elétrica
:
(a) Obtenha a equação que expressa a conservação da carga (equação da continuidade).
(b) Obtenha a equação que expressa a conservação da energia (teorema de Poynting).
(c) Obtenha a lei de Faraday na sua forma macroscópica (isto é, a lei que relaciona a forca eletromotriz em um circuito fechado com a variação do fluxo do campo magnético através da área limitada por esse circuito).
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(a) Obtenha a equação que expressa a conservação da carga (equação da continuidade).
(b) Obtenha a equação que expressa a conservação da energia (teorema de Poynting).
(c) Obtenha a lei de Faraday na sua forma macroscópica (isto é, a lei que relaciona a forca eletromotriz em um circuito fechado com a variação do fluxo do campo magnético através da área limitada por esse circuito).
Passo 1
O enunciado pede, a partir das equações de Maxwell no vácuo com densidade de corrente livre
,
– (a) a equação da continuidade (conservação de carga),
– (b) o teorema de Poynting (conservação de energia eletromagnética),
– (c) a lei de Faraday na forma macroscópica.
As equações de Maxwell que vamos usar são
– (a) a equação da continuidade (conservação de carga),
– (b) o teorema de Poynting (conservação de energia eletromagnética),
– (c) a lei de Faraday na forma macroscópica.
As equações de Maxwell que vamos usar são
Passo 2
Para obter a conservação de carga, aplicamos
em
Como
, fica
Substituindo
(lei de Gauss), obtemos
que é a equação da continuidade.
Passo 3
Para o teorema de Poynting, consideramos o escalar
e usamos as equações de Maxwell e a identidade vetorial
e usamos as equações de Maxwell e a identidade vetorial
Substituindo
e
, obtemos
Reagrupando termos e dividir por
, chega-se a
onde
é a densidade de energia e
é o vetor de Poynting.
Passo 4
Para a lei de Faraday macroscópica, integramos
sobre uma superfície limitada por uma curva fechada
e usamos o teorema de Stokes:
sobre uma superfície
Isso relaciona a fem induzida ao declínio temporal do fluxo magnético.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)