Questão 4: Uma coleção de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de “sintaxe”, “input/output” e de “outro tipo” diferente dos anteriores. Desses 100 programas, 20 tinham erros de “sintaxe”, 10 tinham erros de “input/output” e 5 tinham erros de “outro tipo”, 6 tinham erros de “sintaxe” e de “input/output”, 3 tinham erros de “sintaxe” e de “outro tipo”, 3 tinham erros de “input/output” e de “outro tipo” e 2 tinham os três tipos de erros considerados. Um programa é selecionado ao acaso desta coleç̧ão. Determine a probabilidade de que o programa selecionado tenha:
a) (0,5 ponto) Exclusivamente erros de “sintaxe”.
b) ( 0,5 ponto) Pelo menos um dos três tipos de erros
c) (0,5 ponto) Pelo menos um erro do tipo “input/output” ou “outro tipo”.
d) (0,5 ponto) Nenhum dos erros.

Passo 1

Beleza, vamos lá!
Temos 100 programas e queremos trabalhar com as quantidades de erros de três tipos: “sintaxe” (S), “input/output” (I) e “outro tipo” (O). O conteúdo aqui é Probabilidade básica usando Teoria de Conjuntos, mais especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão e a Regra do Complemento.
O que vamos usar:
  • Cardinalidades dadas:
    |S|=20, |I|=10, |O|=5
    |S∩I|=6, |S∩O|=3, |I∩O|=3
    |S∩I∩O|=2
  • A fórmula de inclusão-exclusão para uniões de conjuntos.
  • A ideia de evento complementar: P(nenhum erro)=1–P(pelo menos um erro).

Passo 2

a) Probabilidade de “exclusivamente erros de sintaxe”
Queremos os que estão só em S (sem I e sem O).
Pela teoria de conjuntos, o número de elementos só em S é
|Ssetminus(Icup O)| ;=;|S|;-;|Scap I|;-;|Scap O|;+;|Scap Icap O|,
Substituindo:
20 - 6 - 3 + 2 ;=;13
Então a probabilidade é
P(só S) = 13100 = 0,13ó

Passo 3

b) Probabilidade de “pelo menos um dos três tipos de erros”
Isso é P(Scup Icup O). Pelo princípio da inclusão-exclusão:
|Scup Icup O| = |S|+|I|+|O| ;-;(|Scap I|+|Scap O|+|Icap O|) ;+;|Scap Icap O|,
Calculando:
20+10+5 ;-;(6+3+3);+;2 = 35 - 12 + 2 = 25
Logo
P(pelo menos um erro) = 25100 = 0,25

Passo 4

c) Probabilidade de “pelo menos um erro do tipo I ou O”
Isso é P(Icup O). De novo inclusão-exclusão, mas só entre I e O:
|Icup O| = |I| + |O| - |Icap O| = 10 + 5 - 3 = 12
Então
P(Icup O) = 12100 = 0,12

Passo 5

d) Probabilidade de “nenhum dos erros”
Podemos usar o complemento de (b):
P(nenhum erro) = 1 - P(pelo menos um erro) = 1 - 0,25 = 0,75
Ou ver que são os 100 menos os 25 que têm erro, ou seja 75 programas.

Resposta

a) 0,13
b) 0,25
c) 0,12
d) 0,75

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