Questão 4: Uma coleção de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de “sintaxe”, “input/output” e de “outro tipo” diferente dos anteriores. Desses 100 programas, 20 tinham erros de “sintaxe”, 10 tinham erros de “input/output” e 5 tinham erros de “outro tipo”, 6 tinham erros de “sintaxe” e de “input/output”, 3 tinham erros de “sintaxe” e de “outro tipo”, 3 tinham erros de “input/output” e de “outro tipo” e 2 tinham os três tipos de erros considerados. Um programa é selecionado ao acaso desta coleç̧ão. Determine a probabilidade de que o programa selecionado tenha:
a) (0,5 ponto) Exclusivamente erros de “sintaxe”.
b) ( 0,5 ponto) Pelo menos um dos três tipos de erros
c) (0,5 ponto) Pelo menos um erro do tipo “input/output” ou “outro tipo”.
d) (0,5 ponto) Nenhum dos erros.
a) (0,5 ponto) Exclusivamente erros de “sintaxe”.
b) ( 0,5 ponto) Pelo menos um dos três tipos de erros
c) (0,5 ponto) Pelo menos um erro do tipo “input/output” ou “outro tipo”.
d) (0,5 ponto) Nenhum dos erros.
Passo 1
Beleza, vamos lá!
Temos 100 programas e queremos trabalhar com as quantidades de erros de três tipos: “sintaxe” (S), “input/output” (I) e “outro tipo” (O). O conteúdo aqui é Probabilidade básica usando Teoria de Conjuntos, mais especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão e a Regra do Complemento.
O que vamos usar:
Temos 100 programas e queremos trabalhar com as quantidades de erros de três tipos: “sintaxe” (S), “input/output” (I) e “outro tipo” (O). O conteúdo aqui é Probabilidade básica usando Teoria de Conjuntos, mais especificamente o Princípio da Inclusão-Exclusão e a Regra do Complemento.
O que vamos usar:
- Cardinalidades dadas:
|S|=20, |I|=10, |O|=5
|S∩I|=6, |S∩O|=3, |I∩O|=3
|S∩I∩O|=2 - A fórmula de inclusão-exclusão para uniões de conjuntos.
- A ideia de evento complementar: P(nenhum erro)=1–P(pelo menos um erro).
Passo 2
a) Probabilidade de “exclusivamente erros de sintaxe”
Queremos os que estão só em S (sem I e sem O).
Pela teoria de conjuntos, o número de elementos só em S é
Queremos os que estão só em S (sem I e sem O).
Pela teoria de conjuntos, o número de elementos só em S é
Substituindo:
Então a probabilidade é
Passo 3
b) Probabilidade de “pelo menos um dos três tipos de erros”
Isso é . Pelo princípio da inclusão-exclusão:
Isso é
Calculando:
Logo
Passo 4
c) Probabilidade de “pelo menos um erro do tipo I ou O”
Isso é . De novo inclusão-exclusão, mas só entre I e O:
Isso é
Então
Passo 5
d) Probabilidade de “nenhum dos erros”
Podemos usar o complemento de (b):
Podemos usar o complemento de (b):
Ou ver que são os 100 menos os 25 que têm erro, ou seja 75 programas.
Resposta
a) 0,13
b) 0,25
c) 0,12
d) 0,75
b) 0,25
c) 0,12
d) 0,75