Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora superar 5 ^circ C, o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é, entretanto, caro e, portanto, deve ser feito apenas se for realmente necessário. Em 8 experimentos independentes com a câmara, foi obtida uma média 5,65^circ C e um desvio padrão 0,81^circ C. Estes dados sugerem a necessidade de recalibração? (Use alpha =0,05 )

Passo 1

Beleza, a ideia é a seguinte: temos uma câmara compressora em que, se a média do aumento de temperatura da água ultrapassar 5 °C, a gente precisa recalibrar o processo (que é caro). Fizemos 8 experimentos independentes e medimos:
  • média amostral °C
  • desvio-padrão amostral °C
    O nível de significância é .
    Conteúdo: estatística inferencial, teste de hipótese para média com amostra pequena e variância desconhecida (teste t de Student). Vamos precisar:
  1. Formular hipóteses nula e alternativa
  2. Montar o teste t
  3. Calcular o valor da estatística
  4. Comparar com a região crítica (ou p-valor)
  5. Concluir se recalibra ou não

Passo 2

Hipóteses:
  • H₀ (nula): a média verdadeira °C (não precisa recalibrar)
  • H₁ (alternativa): °C (precisa recalibrar)
    Como a amostra é pequena (n=8) e não sabemos o desvio da população, usamos a distribuição t de Student com graus de liberdade.

Passo 3

A estatística de teste t é dada por
t = bar x - mu0s / raizn
onde t = 5,65 - 50,81 / raiz8 = 0,650,81 / 2,828 = 0,650,2866 approx 2,27 , , e .
Calculando:

Passo 4

Agora, com t0,95,,7 approx 1,895 e 7 graus de liberdade, o valor crítico unilaterial é
Como nosso é maior que , caímos na região de rejeição de H₀. (Se preferir, dá pra calcular o p-valor, que fica em torno de , também abaixo de .)

Passo 5

Rejeitamos H₀, ou seja, há evidência estatística suficiente (ao nível 5 %) de que a temperatura média subiu mais que 5 °C. Logo, o processo de resfriamento precisa ser recalibrado.

Resposta

Sim, os dados sugerem a necessidade de recalibração, pois o teste t apontou um valor de , maior que o crítico (para e 7 graus de liberdade).

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