Questão 1
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Considere as funções f(x)=|2 x-1| e g(x)=x^2+2 x+4. Qual das seguintes funções não está definida em toda a reta R ?
Escolha uma opção:
a. f g
b. gf
c. f-g
d. f+g
e. fg

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=|2x-1|,
g(x)=x^2+2x+4
e pede qual das combinações abaixo não está definida em toda a reta R. O conteúdo aqui é domínio de soma, diferença, produto e quociente de funções: soma, diferença e produto mantêm o domínio de intersecção (aqui R), mas no quociente devemos excluir os zeros do denominador.

Passo 2

Verificamos primeiro que
dom(f)=R, dom(g)=R,
pois f é valor absoluto (sempre definida) e g é polinômio (sempre definido).

Passo 3

Para
f+g, f-g, fcdot g
o domínio é dom(f)capdom(g)=R. Logo essas três estão definidas em toda reta.

Passo 4

Para
gf
precisamos excluir os x tais que f(x)=0. Resolvendo
|2x-1|=0iff 2x-1=0iff x=12
Portanto
doml(gfr)=Rsetminusltfrac12r,
que não é toda a reta.

Passo 5

Para
fg
excluímos zeros de g(x). Calculamos o discriminante de g(x)=x^2+2x+4:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot4 = 4 - 16 = -12<0,
logo g(x)>0 para todo xinR e não há exclusões. Assim dom(f/g)=R.

Resposta

b) gf não está definida em toda a reta R.

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