Resolva o PVI
ly^prime prime+y^prime-2 y=t^2+3 y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
;y''+y'-2y = t^2+3, y(0)=0,;y'(0)=0
Este é um caso de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos obter primeiro a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e enfim usar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea basta resolver a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
As raízes são
r = 1 e r = -2,
logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp polinomial do mesmo grau do lado direito, isto é,
yp(t) = a,t^2 + b,t + c
Então
yp'(t) = 2a,t + b, yp''(t) = 2a

Passo 4

Substituindo yp na equação original:
yp'' + yp' - 2yp = 2a + (2a,t + b) - 2(a,t^2 + b,t + c) = -2a,t^2 + (2a-2b),t + (2a+b-2c)
Isso deve ser igual a t^2 + 3, ou seja,
-2a = 1, 2a-2b = 0, 2a + b - 2c = 3
Resolvendo:
a = -tfrac12, 2(-tfrac12)-2b=0implies b=-tfrac12, 2(-tfrac12)+(-tfrac12)-2c=3implies c=-tfrac94
Portanto
yp(t) = -tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

Passo 6

Calculamos a derivada:
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t - t - tfrac12
Usando y(0)=0 e y'(0)=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac94 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = tfrac94,
y'(0)=C1 - 2C2 - tfrac12 = 0 ;Longrightarrow; C1 - 2C2 = tfrac12
Resolvendo o sistema:
C2 = tfrac712, C1 = tfrac53

Resposta

boxed y(t) = tfrac53,e^t + tfrac712,e^-2t - tfrac12,t^2 - tfrac12,t - tfrac94

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