Questão 3
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questão

Carlos trabalha em São Paulo e mora em Mauá. Há dois caminhos que Carlos pode utilizar para retornar à sua casa do trabalho. Com o objetivo de verificar se algum dos caminhos é mais vantajoso (em relação ao tempo), Carlos fez o seguinte experimento: durante 15 dias ele retornou à sua casa pelo Caminho A , obtendo um tempo médio (amostral) de 130 minutos neste trajeto e, no mês seguinte, durante 9 dias retornou para casa pelo Caminho B, obtendo um tempo médio (amostral) neste trajeto de 150 minutos. O desvio-padrão amostral do Caminho $A$ foi $S_{A}=11$ minutos e o desviopadrão amostral do Caminho $B$ foi $S_{B}=15$ minutos.
a) Verifique, através de um teste de hipótese adequado, se há evidências de que as variâncias populacionais sejam iguais. Use $\alpha=5 \%$.
b) Verifique, através de um teste de hipótese adequado, se há diferença entre os tempos médios no trajeto feitos pelos Caminhos $A$ e B. Use $\alpha=1 \%$.

Obs: Utilize o resultado que você obteve no item (a) para escolher o teste de hipótese apropriado neste item.
c) Construa um Intervalo de Confiança bilateral, com $95 \%$ de confiança, para a diferença entre os tempos médios feitos pelos Caminhos A e B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o Carlos andou 15 dias pelo Caminho A (média 130 min, desvio-padrão amostral ) e 9 dias pelo Caminho B (média 150 min, ).
Conteúdo: teste de hipótese de variâncias (F-teste), teste de hipótese de diferença de médias (t-teste) e intervalo de confiança para diferença de médias.
Vamos precisar de:
  1. F-teste bilateral para ver se .
  2. t-teste (com variâncias iguais ou diferentes, dependendo do item 1) para comparar e .
  3. Fórmula de intervalo de confiança bilateral de 95% para .

Passo 2

Item (a): testar igualdade das variâncias.
  • Hipóteses: H0: sigmaA^2 = sigmaB^2, H1: sigmaA^2 neq sigmaB^2
  • Estatística de teste: F = SA^2SB^2 = 11^215^2 = 121225 approx 0,538
  • Graus de liberdade: F < F0,025(14,8) ou F > F0,975(14,8) , 0,238 < 0,538 < 4,20, .
  • Nível de significância , teste bilateral:
    as regiões críticas são Pelas tabelas, e .
  • Como não caímos na região crítica.
    Logo, não rejeitamos : não há evidência de variâncias diferentes.

Passo 3

Item (b): testar diferença das médias usando t-teste com variâncias iguais (já que o item (a) sugeriu igualdade).
  • Hipóteses: H0: muA = muB, H1: muA neq muB
  • Estimativa da variância comum (pooled): Sp^2 = (nA-1)SA^2 + (nB-1)SB^2nA + nB - 2 = 14cdot121 + 8cdot22515+9-2 = 1694 + 180022 approx 158,82, Sp = raiz158,82 approx 12,60
  • Estatística t: t = bar XA - bar XBSpraiztfrac1nA + tfrac1nB = 130 - 15012,60 raiztfrac115 + tfrac19 approx -2012,60 times 0,4218 approx -3,76
  • Graus de liberdade: .
  • Nível , teste bilateral: .
  • Como , rejeitamos : há diferença significativa entre as médias.

Passo 4

Item ©: intervalo de confiança de 95% para (bar XA - bar XB) pm t0,975(22); Spraiztfrac1nA + tfrac1nB , supondo variâncias iguais.
  • Fórmula: bar XA - bar XB = 130 - 150 = -20, t0,975(22)approx 2,074, Spraiztfrac115 + tfrac19approx 5,31
  • Valores: -20 pm 2,074times5,31 = -20 pm 11,02 = l[-31,02,,-8,98r]
  • Intervalo:

Resposta

a) , não rejeitamos ; variâncias pareciam iguais.
b) , , rejeita-se ; há diferença de médias.
c) IC 95% para : minutos.

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