Questão 2: Os componentes de deformação de um ponto de uma peça sob estado plano de deformação são: \varepsilon_{x}=-8,00 \times 10^{-4}, \varepsilon_{y}=+6,40 \times 10^{-4} e \gamma_{x y}=-9,60 \times 10^{-4}. Determine os componentes de deformação \varepsilon_{n}, \varepsilon_{t} e \gamma_{n t} quando os eixos-nt estão orientados 42^{\circ} com relação aos eixos-xy no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado fornece as deformações em um ponto sob estado plano de deformação nos eixos x y:
\varepsilon_{x}=-8{,}00\times10^{-4}, \varepsilon_{y}=+6{,}40\times10^{-4} e \gamma_{xy}=-9{,}60\times10^{-4}.
Queremos encontrar as deformações nos eixos n t girados de \theta=42^\circ no sentido anti-horário em relação aos eixos x y.
O conteúdo aplicado é a transformação de deformação em plano usando as fórmulas de mudança de eixos.

Passo 2

As fórmulas de transformação de deformações (usando \gamma como deformação de engenharia) para um eixo x' girado de \theta são:
\varepsilon_{x'} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} + \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\varepsilon_{y'} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} - \frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos2\theta - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\gamma_{x'y'} = -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta + \gamma_{xy}\cos2\theta
Aqui identificamos \varepsilon_{n}=\varepsilon_{x'}, \varepsilon_{t}=\varepsilon_{y'} e \gamma_{nt}=\gamma_{x'y'} com \theta=42^\circ.

Passo 3

Calculamos primeiro os termos médios e as metades de diferenças:
\displaystyle A=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} =\frac{-0{,}0008+0{,}00064}{2}=-8{,}0\times10^{-5},
\displaystyle B=\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2} =\frac{-0{,}0008-0{,}00064}{2}=-7{,}2\times10^{-4},
\displaystyle C=\frac{\gamma_{xy}}{2}=-4{,}8\times10^{-4}.
Para \theta=42^\circ temos 2\theta=84^\circ,
\cos84^\circ\approx0{,}10453 e \sin84^\circ\approx0{,}99452.

Passo 4

Substituindo em cada fórmula:
\varepsilon_{n} = A + B\cos2\theta + C\sin2\theta = -8{,}0\times10^{-5} +(-7{,}2\times10^{-4})(0{,}10453) +(-4{,}8\times10^{-4})(0{,}99452) \approx -6{,}33\times10^{-4}
\varepsilon_{t} = A - B\cos2\theta - C\sin2\theta = -8{,}0\times10^{-5} -(-7{,}2\times10^{-4})(0{,}10453) -(-4{,}8\times10^{-4})(0{,}99452) \approx +4{,}73\times10^{-4}
\gamma_{nt} = -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta + \gamma_{xy}\cos2\theta = -(-0{,}00144)(0{,}99452) +(-9{,}6\times10^{-4})(0{,}10453) \approx +1{,}33\times10^{-3}

Resposta

\displaystyle \varepsilon_{n}\approx -6{,}33\times10^{-4} \displaystyle \varepsilon_{t}\approx +4{,}73\times10^{-4} \displaystyle \gamma_{nt}\approx +1{,}33\times10^{-3}

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