Questão 3(1,7). O comprimento de raízes de uma espécie de hortaliça, quando submetida a doses crescentes de um determinado hormônio, é uma variável aleatória contínua X que assume valores entre 0 e 1 cm . Sabendo que sua função densidade de probabilidade
f(x)=20 x^3-20 x^4, para Sx=[0 ; 1]
determine:
a) (0,5) a função de probabilidade acumulada F(x).
b) (0,5) a probabilidade do comprimento das raízes não ultrapassar 0,7 cm.
c) (0,7) a média e a variância de X.

Passo 1

O enunciado define uma variável contínua X com suporte [0,1] e densidade
f(x)=20x^3-20x^4, 0<= x<=1
Precisamos de três coisas:
– a) a função de distribuição acumulada F(x) usando a definição
F(x)=integral-infty^xf(t),dt;
– b) a probabilidade P(X<=0,7)=F(0,7);
– c) a média mu=E[X] e a variância sigma^2=E[X^2]-mu^2, usando integrais de momento.

Passo 2

Para obter F(x) usamos
F(x)=integral-infty^xf(t),dt
mas como f(t)=0 para t<0 e t>1, basta integrar de 0 até x em [0,1]:
F(x)=integral0^x(20t^3-20t^4),dt =[5t^4-4t^5]0^x =5x^4-4x^5
Logo, de forma completa:
F(x)= 0, & x<0, 5x^4-4x^5, & 0<= x<=1, 1, & x>1

Passo 3

A probabilidade de X não ultrapassar 0,7 é
P(X<=0,7)=F(0,7)=5,(0,7)^4-4,(0,7)^5
Calculando:
(0,7)^4=0,2401, (0,7)^5=0,16807
F(0,7)=5cdot0,2401-4cdot0,16807=1,2005-0,67228=0,52822 (aprox)

Passo 4

Para a média usamos
mu=E[X]=integral0^1x,f(x),dx =integral0^1(20x^4-20x^5),dx =[4x^5-103x^6]0^1 =4-103=23

Passo 5

Para E[X^2] calculamos
E[X^2]=integral0^1x^2f(x),dx =integral0^1(20x^5-20x^6),dx =[103x^6-207x^7]0^1 =103-207 =1021
Assim a variância é
sigma^2=E[X^2]-mu^2 =1021-l(23r)^2 =1021-49 =263

Resposta

a)
F(x)= 0, & x<0, 5x^4-4x^5, & 0<= x<=1, 1, & x>1
b)
P(X<=0,7)=5(0,7)^4-4(0,7)^5approx0,52822
c)
mu=2/3, sigma^2=2/63.

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