Questão 4(2,0). Um grande posto de gasolina de autoatendimento experimenta uma média de 2,6 “escapadas” (cliente que sai do posto sem pagar) por mês.
a) (0,5) Qual é a probabilidade de ocorrer exatamente uma “escapada” num determinada mês?
b) (0,5) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de duas “escapadas” numa determinada mês?
c) (0,5) Qual é a probabilidade de que o tempo entre duas “escapadas” sucessivas seja maior do que um mês.
d) (0,5) Obtenha a média e o desvio padrão do tempo decorrido entre as “escapadas”.

Passo 1

O enunciado nos diz que o número de “escapadas” por mês segue um processo de Poisson com parâmetro lambda = 2,6 (média de 2,6 escapadas por mês). Logo, se N é o número de escapadas em um mês, então
Pr(N=k)=e^-lambda,lambda^kk!(k=0,1,2,dots)
Além disso, o tempo entre escapadas sucessivas segue uma distribuição Exponencial de parâmetro lambda=2,6, com função de sobrevivência
Pr(T>t)=e^-lambda t

Passo 2

Para (a), queremos Pr(N=1). Aplicando a fórmula da Poisson com k=1:
Pr(N=1)=e^-2,6,(2,6)^11! =2,6,e^-2,6

Passo 3

Para (b), queremos Pr(N>2)=1-Pr(N<=2). Calculamos
Pr(N<=2)=sumk=0^2e^-2,6,(2,6)^kk! =e^-2,6l(1+2,6+tfrac(2,6)^22!r)
Logo
Pr(N>2) =1-e^-2,6l(1+2,6+tfrac(2,6)^22r)

Passo 4

Para (c), o tempo T entre duas escapadas é Exponencial( 2,6). Assim
Pr(T>1) =e^-2,6cdot1 =e^-2,6

Passo 5

Para (d), se TsimExp(lambda), então
média(T)=1lambda, desvio padrão(T)=1lambda éã
Aqui lambda=2,6, logo
média(T)=12,6approx0,385 meses, desvio padrão(T)=12,6approx0,385 meses éã

Resposta

a) Pr(N=1)=2,6,e^-2,6
b) Pr(N>2)=1-e^-2,6l(1+2,6+tfrac(2,6)^22r)
c) Pr(T>1)=e^-2,6
d) média(T)=tfrac12,6approx0,385 meses, desvio padrão(T)=tfrac12,6approx0,385 meseséã

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