Questão 2: Dados os vetores vec{u}=(3,-2,4), vec{v}=(1,2,-4), calcular:
(\vec{u}+3 \vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\displaystyle \vec{u}=(3,-2,4) e \displaystyle \vec{v}=(1,2,-4)
e pede para calcular
\displaystyle (\vec{u}+3\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
O que precisamos é usar a definição de soma e subtração de vetores componente a componente e, em seguida, o produto escalar, que multiplica componentes correspondentes e soma os resultados.

Passo 2

Vamos primeiro achar \displaystyle \vec{u}+3\vec{v}. Em cada componente:
\vec{u}+3\vec{v} =(\,3+3\cdot1,\;-2+3\cdot2,\;4+3\cdot(-4)\,) =(6,\,4,\,-8).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \vec{u}-\vec{v}, componente a componente:
\vec{u}-\vec{v} =(\,3-1,\;-2-2,\;4-(-4)\,) =(2,\,-4,\,8).

Passo 4

Por fim, fazemos o produto escalar entre (6,4,-8) e (2,-4,8):
(6,4,-8)\cdot(2,-4,8) =6\cdot2 \;+\;4\cdot(-4)\;+\;(-8)\cdot8 =12\;-\;16\;-\;64 =-68.

Resposta

-68

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