Questão 2: Dados os vetores vec{u}=(3,-2,4), vec{v}=(1,2,-4), calcular:
(3 \vec{u}-\vec{v}) \cdot(\vec{v}-4 \vec{u})

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(3,-2,4) e \vec{v}=(1,2,-4) e pede para calcular o produto escalar de duas combinações lineares:
(3\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{v}-4\vec{u}).
O conteúdo necessário envolve operações com vetores: combinar vetores por soma e escalar, e depois aplicar o produto escalar.

Passo 2

Vamos primeiro formar o vetor 3\vec{u}-\vec{v}.
Multiplicando \vec{u} por 3 temos
3\vec{u} = 3\,(3,-2,4) = (9,-6,12).
Subtraindo \vec{v}, obtemos
3\vec{u}-\vec{v} = (9,-6,12) - (1,2,-4) = (9-1,\;-6-2,\;12-(-4)) = (8,-8,16).

Passo 3

Agora formamos o vetor \vec{v}-4\vec{u}.
Multiplicando \vec{u} por 4 temos
4\vec{u} = 4\,(3,-2,4) = (12,-8,16).
Subtraindo de \vec{v}, obtemos
\vec{v}-4\vec{u} = (1,2,-4) - (12,-8,16) = (1-12,\;2-(-8),\;-4-16) = (-11,10,-20).

Passo 4

Finalmente, calculamos o produto escalar entre (8,-8,16) e (-11,10,-20):
(8,-8,16)\cdot(-11,10,-20) = 8\cdot(-11) + (-8)\cdot10 + 16\cdot(-20).
Calculando termo a termo:
8\cdot(-11) = -88,\quad (-8)\cdot10 = -80,\quad 16\cdot(-20) = -320.
Somando:
-88 + (-80) + (-320) = -488.

Resposta

-488

Exercícios relacionados