Questão 3:
Um condutor em forma de paralelepípedo possui uma densidade de corrente dada por
e tem uma área transversal retangular definida por uma largura
e uma altura
. Na questão
e
são constantes.
Determine a corrente que flui através deste condutor.
Determine a corrente que flui através deste condutor.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um condutor com formato de paralelepípedo, e a densidade de corrente nele é dada por $ J(x, y) = \alpha(2x + y^2) $. A área transversal desse condutor é um retângulo com largura $ a $ e altura $ b $. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente que está passando por esse condutor. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral dupla para somar todas as contribuições da densidade de corrente na área transversal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área pequena do condutor. Para encontrar a corrente total, precisamos somar (integrar) toda essa contribuição sobre toda a área. Matemáticamente, a corrente $ I $ é dada por:
Onde $ A $ é a área transversal do condutor.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão da densidade de corrente na integral. Sabemos que $ J(x, y) = \alpha(2x + y^2) $, então:
Aqui, estamos integrando $ y $ de 0 a $ b $ e $ x $ de 0 a $ a $, que são os limites da nossa área retangular.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 5
Vamos resolver essa última integral agora:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos pelo $ \alpha $:
Resposta
A corrente que flui através do condutor é $ I = \alpha a b \left( a + \frac{b^2}{3} \right) $.