Questão 3: (2,0) Um condutor em forma de paralelepípedo possui uma densidade de corrente dada por a e tem uma área transversal retangular definida por uma largura b e uma altura a, b. Na questão alpha e são constantes.
Determine a corrente que flui através deste condutor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um condutor com formato de paralelepípedo, e a densidade de corrente nele é dada por $ J(x, y) = \alpha(2x + y^2) $. A área transversal desse condutor é um retângulo com largura $ a $ e altura $ b $. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente que está passando por esse condutor. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral dupla para somar todas as contribuições da densidade de corrente na área transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área pequena do condutor. Para encontrar a corrente total, precisamos somar (integrar) toda essa contribuição sobre toda a área. Matemáticamente, a corrente $ I $ é dada por:
I
Onde $ A $ é a área transversal do condutor.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão da densidade de corrente na integral. Sabemos que $ J(x, y) = \alpha(2x + y^2) $, então:
J(x, y) = alpha(2x + y^2)
Aqui, estamos integrando $ y $ de 0 a $ b $ e $ x $ de 0 a $ a $, que são os limites da nossa área retangular.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^b alpha(2x + y^2) , dy = alpha [ 2x y + y^33 ]0^b = alpha ( 2x b + b^33 )

Passo 5

Vamos resolver essa última integral agora:
integral0^a (2b x + b^33) , dx = 2b cdot x^22 + b^33 x gr|0^a = b a^2 + b^3 a3

Passo 6

Finalmente, multiplicamos pelo $ \alpha $:
alpha

Resposta

A corrente que flui através do condutor é $ I = \alpha a b \left( a + \frac{b^2}{3} \right) $.

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