Questão 4.7
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{2}, \mathbf{1 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{0 , 1 , 0 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{1 , 0 , 2 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{1 , 1 , 1 , 1}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se \mathrm{v}=(2,0,1,1) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
e define o subespaço vetorial W=\mathrm{L}(S) (ou seja, o espaço gerado por S). O exercício pede:
(a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
(b) Determinar uma base e a dimensão de W.
(c) Verificar se \mathbf{v}=(2,0,1,1) pertence a W.
(d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
As informações relevantes são exatamente os quatro vetores dados e que W é o espaço gerado por eles.
Passo 2
(a) Definições (clara e direta, sem assumir que você já sabe).
Uma família de vetores \{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\} é geradora de um espaço vetorial V se qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear destes vetores, isto é, para todo \mathbf{v}\in V existem escalares a_1,\dots,a_k tais que \mathbf{v}=a_1\mathbf{u}_1+\cdots+a_k\mathbf{u}_k.
Uma família de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero). Ou seja, a_1\mathbf{u}_1+\cdots+a_k\mathbf{u}_k=\mathbf{0} implica a_1=\cdots=a_k=0.
Uma base de V é uma família de vetores que é ao mesmo tempo geradora e linearmente independente. Intuitivamente, são “os blocos mínimos” que geram todo o espaço sem redundância.
A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Uma consequência importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Exemplo rápido para fixar: os vetores (1,0) e (0,1) formam uma base de \mathbb{R}^2 e a dimensão é 2.
Passo 3
(b) Determinar uma base e a dimensão de W.
Estratégia: colocar os vetores como colunas de uma matriz e fazer eliminação por linhas para descobrir quantos são linearmente independentes (o posto = dimensão de W); as colunas-pivô correspondem a uma base formada por alguns dos vetores originais.
Formo a matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4:
Conclusão dessa eliminação: posto = número de linhas não-nulas =3. Logo, as três primeiras colunas são colunas-pivô (correspondem a \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3). Portanto esses três vetores são linearmente independentes e geram W. Assim uma base de W é
Como checagem extra (útil na prova): \mathbf{v}_4 é combinação linear dos três primeiros; resolvendo rápido o sistema \alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_4 obtém-se
Da segunda equação y=-x\]. Da quarta \(y+z=1 dá z=1-y=1-(-x)=1+x. Substituindo na primeira: 2x+(1+x)=2\Rightarrow 3x+1=2\Rightarrow x=\tfrac{1}{3}. Assim z=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}. Mas agora verifique a terceira equação: x+2z=\tfrac{1}{3}+2\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{8}{3}=\tfrac{9}{3}=3, que não é 1. Portanto o sistema é inconsistente: não existem x,y,z que satisfaçam todas as equações. Conclusão: \mathbf{v}=(2,0,1,1)\notin W.]
Passo 5
(d) Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Lembrete do algoritmo (fórmula): dados vetores linearmente independentes \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3, definimos
Agora a projeção em \mathbf{u}_2. Para isso uso a versão com \mathbf{u}_2 original (antes do fator 6) ou então uso \mathbf{u}_2' e faço com cuidado; aqui uso \mathbf{u}_2 (com frações) porque já calculei \langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle:
Calculo \langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle onde \mathbf{u}_2=(-\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{6},-\tfrac{1}{6},1):
Como antes, multiplicar por constante não altera a ortogonalidade; escolho o vetor inteiro simples
\mathbf{u}_3'=(-1,-3,5,3)
(porque \mathbf{u}_3 é \tfrac{3}{11}\mathbf{u}_3'). Verificação rápida (útil na prova): \langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_3'\rangle=0 e \langle\mathbf{u}_2',\mathbf{u}_3'\rangle=0 — confirmando que são mutuamente ortogonais.
Portanto, uma base ortogonal (mais “bonita”, sem frações) de W é
Cada vetor acima pertence a W, são ortogonais dois a dois e são três, então formam uma base ortogonal de W.]
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é uma família de vetores que gera V e é linearmente independente. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(2,1,1,0),(0,1,0,1),(1,0,2,1)\}. A dimensão é \dim W=3.
(c) \mathbf{v}=(2,0,1,1)\notin W.
(d) Uma base ortogonal de W (não normalizada) é \{(2,1,1,0),\;(-2,5,-1,6),\;(-1,-3,5,3)\}.