Questão 4.9
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{0 , 1 , 2 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{1 , 0 , 1 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{1 , 1 , 0 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{2 , 1 , 2 , 2}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W.
c) Determine se \mathrm{v}=(2,1,1,0) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
Define-se W=\mathrm{L}(S), ou seja, o subespaço gerado por S.
As perguntas são:
a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determinar uma base e a dimensão de W.
c) Verificar se \mathbf{v}=(2,1,1,0) pertence a W.
d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
As informações relevantes do enunciado estão acima (os quatro vetores em \mathbb{R}^4 e o vetor \mathbf{v} a testar). A partir delas vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Definições e conceitos necessários (explicação didática e sem pular etapas).
Espaço gerado / span. Dado um conjunto de vetores S=\{w_1,\dots,w_k\}, o espaço gerado \mathrm{L}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares
Isso significa “tudo que você pode construir somando e multiplicando os vetores de S por escalares”.
Independência linear. Os vetores w_1,\dots,w_k são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 w_1+\cdots+\alpha_k w_k = 0
for \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existir uma solução não trivial (alguma \alpha_i\neq 0), são linearmente dependentes.
Base. Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que (i) gera V (ou seja, seu span é V) e (ii) é linearmente independente. Intuição prática: uma base é um “conjunto mínimo de geradores”, sem redundância.
Dimensão. A dimensão de V, denotada \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante: todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Exemplo simples para fixar: no plano \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é base e \dim(\mathbb{R}^2)=2. Se eu pegar três vetores em \mathbb{R}^2, obrigatoriamente serão linearmente dependentes (há redundância).
Passo 3
Estratégia para (b): para decidir uma base de W=\mathrm{L}(S) precisamos saber se os vetores de S são linearmente independentes e quantos são necessários para gerar W. Como estamos em \mathbb{R}^4 e temos quatro vetores, construímos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_4 e fazemos eliminação de Gauss (RREF) para ver o posto (rank). Se o posto for 4, os vetores são independentes e formam base de W e \dim(W)=4.
Finalmente, multiplico R_4 por -1 para obter pivô 1 e elimino acima na coluna 4: R_4\leftarrow -R_4=(0,0,0,1), R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{1}{3}R_4, R_2\leftarrow R_2 - \tfrac{4}{3}R_4, R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_4.
Fica a matriz identidade I_4:
Conclusão desta eliminação: o posto de A é 4. Logo os quatro vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 são linearmente independentes e formam uma base de W. Como são quatro vetores em \mathbb{R}^4, obtemos \dim(W)=4 e, portanto, W=\mathbb{R}^4.
Passo 5
Resposta ao item (c): verificar se [\mathbf{v}=(2,1,1,0)) pertence a W.
Como W=\mathbb{R}^4 (concluído no passo anterior), qualquer vetor de \mathbb{R}^4 pertence a W, então a resposta é “sim”. Para ser rigoroso explícito, podemos achar escalares a,b,c,d tais que
Verificação rápida: com esses a,b,c,d\] a combinação linear dá \(\mathbf{v}. Portanto \mathbf{v}\in W.]
Passo 6
Gram–Schmidt: explicação do método (fórmula e intuição).
Objetivo: a partir de uma base linearmente independente w_1,\dots,w_n construir vetores u_1,\dots,u_n que sejam mutuamente ortogonais e que gerem o mesmo espaço. Fórmula (produto interno padrão \langle x,y\rangle = x\cdot y):
e assim por diante. Cada passo subtrai as componentes das projeções sobre os vetores já obtidos, garantindo ortogonalidade. Não é necessário normalizar (para ortonormalizar divide-se cada u_i por \|u_i\|), mas o enunciado pede apenas base ortogonal.]
Passo 7
Aplicando Gram–Schmidt aos vetores w_1=\mathbf{v}_1,\\ w_2=\mathbf{v}_2,\\ w_3=\mathbf{v}_3,\\ w_4=\mathbf{v}_4.
u_1=\mathbf{v}_1=(0,1,2,1).
Cálculo de \langle u_1,u_1\rangle = 0^2+1^2+2^2+1^2 = 6.
É fácil verificar (produto escalar) que todos pares distintos têm produto interno zero (por exemplo já verificado no processo e pode ser checado rápido se desejar).
Portanto temos uma base ortogonal de W formada por esses quatro vetores.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes cujo span é V. A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}. \dim(W)=4 (logo W=\mathbb{R}^4).
(c) Sim, \mathbf{v}=(2,1,1,0)\in W. Uma combinação possível é