Questão 4.8
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 1 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{2 , 0 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{0 , 1 , 2 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{1 , 2 , 0 , 1}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se \mathrm{v}=(1,0,1,2) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
\mathbf{v}_1=(1,1,1,0),\quad \mathbf{v}_2=(2,0,1,1),\quad \mathbf{v}_3=(0,1,2,2),\quad \mathbf{v}_4=(1,2,0,1),
e define o subespaço W=\mathrm{L}(S) (o subespaço gerado por S). O que se pede:
a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determinar uma base e a dimensão de W.
c) Verificar se \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W (ou seja, se \mathbf{v} é combinação linear de S).
d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 2

Definição de base e dimensão (resposta à letra a), explicada devagarinho.
  • Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores \{b_1,\dots,b_k\}\subset V que satisfaz duas propriedades: (i) os vetores são linearmente independentes; (ii) os vetores geram V, ou seja, \mathrm{L}(\{b_1,\dots,b_k\})=V. Em palavras: nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros, e qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
  • A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V. É bem definido porque todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm a mesma quantidade de vetores.
Explicação curta do porquê: linearmente independentes significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; gerar significa cobrir todo o espaço. A dimensão indica “quantos graus de liberdade” o espaço tem.

Passo 3

Vamos determinar a dimensão de W e uma base (letra b). Estratégia: verificar se os vetores de S são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 e fazemos eliminação por linhas para encontrar o posto (rank). A matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix},
onde a coluna j é \mathbf{v}_j.
Recordando: o posto da matriz (número de pivôs não-nulos após eliminação) é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes. Se o posto for 4 então as quatro colunas são independentemente lineares e geram um subespaço de dimensão 4.]

Passo 4

Realizando eliminação (vou mostrar as operações e os resultados):
Começamos com
\begin{array}{rcl} R_1 & = & (1\\\ 2\\\ 0\\\ 1)\\[2pt] R_2 & = & (1\\\ 0\\\ 1\\\ 2)\\[2pt] R_3 & = & (1\\\ 1\\\ 2\\\ 0)\\[2pt] R_4 & = & (0\\\ 1\\\ 2\\\ 1). \end{array}
Fazemos R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1:
\begin{array}{rcl} R_1 & = & (1\\\ 2\\\ 0\\\ 1)\\[2pt] R_2 & = & (0\\\ -2\\\ 1\\\ 1)\\[2pt] R_3 & = & (0\\\ -1\\\ 2\\\ -1)\\[2pt] R_4 & = & (0\\\ 1\\\ 2\\\ 1). \end{array}
Trocamos R_2 com R_4 para ter pivot simples:
\begin{array}{rcl} R_1 & = & (1\\\ 2\\\ 0\\\ 1)\\[2pt] R_2 & = & (0\\\ 1\\\ 2\\\ 1)\\[2pt] R_3 & = & (0\\\ -1\\\ 2\\\ -1)\\[2pt] R_4 & = & (0\\\ -2\\\ 1\\\ 1). \end{array}
Eliminamos coluna 2 nos outros R_i usando R_2:
\begin{array}{rcl} R_1 & \leftarrow & R_1-2R_2 = (1\\\ 0\\\ -4\\\ -1)\\[2pt] R_3 & \leftarrow & R_3+R_2 = (0\\\ 0\\\ 4\\\ 0)\\[2pt] R_4 & \leftarrow & R_4+2R_2 = (0\\\ 0\\\ 5\\\ 3). \end{array}
Agora R_3=(0\\\ 0\\\ 4\\\ 0). Dividimos R_3 por 4 e usamos para zerar coluna 3 nos outros:
R_3=(0\\\ 0\\\ 1\\\ 0),\quad R_1\leftarrow R_1+4R_3=(1\\\ 0\\\ 0\\\ -1),\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3=(0\\\ 1\\\ 0\\\ 1),
e
R_4\leftarrow R_4-5R_3 = (0\\\ 0\\\ 0\\\ 3).
Por fim R_4=(0\\\ 0\\\ 0\\\ 3) tem um pivô na coluna 4. Assim temos pivôs nas quatro colunas; o posto é 4.]

Passo 5

Conclusão da letra b a partir do posto.
  • Como o posto (rank) da matriz das colunas é \,4, as quatro colunas são linearmente independentes. Logo os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 formam uma base de W.
  • Portanto \dim(W)=4. Como \dim(\mathbb{R}^4)=4 e W\subset\mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que W=\mathbb{R}^4.
Uma observação prática: quando número de vetores é igual à dimensão do espaço ambiente e eles são independentes, eles já formam base do ambiente todo.

Passo 6

Verificação da letra c: \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W?
Como W=\mathbb{R}^4, imediatamente \mathbf{v}\in W. Mas como o enunciado geralmente pede a combinação linear, vamos achar coeficientes c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3+c_4\mathbf{v}_4=\mathbf{v}.
Resolvemos o sistema A\mathbf{c}=\mathbf{v} usando as mesmas operações de linha que fizemos acima, aplicadas ao vetor augmentado. Aplicando os passos (mostrados no Passo 4) ao vetor \mathbf{v} obtemos, após eliminação:
\begin{array}{rcl} c_4 & = & \dfrac{1}{6},\\[6pt] c_3 & = & \dfrac{1}{2},\\[6pt] c_2 & = & 1 - c_4 = \dfrac{5}{6},\\[6pt] c_1 & = & -1 + c_4 = -\dfrac{5}{6}. \end{array}
Portanto \mathbf{v} = -\dfrac{5}{6}\mathbf{v}_1+\dfrac{5}{6}\mathbf{v}_2+\dfrac{1}{2}\mathbf{v}_3+\dfrac{1}{6}\mathbf{v}_4.]

Passo 7

Gram–Schmidt (letra d): explicação da fórmula e aplicação passo a passo.
Fórmula do processo (caso de vetores em \mathbb{R}^n): dados vetores v_1,\dots,v_k linearmente independentes, definimos vetores ortogonais u_1,\dots,u_k por
u_1 = v_1,\qquad u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\operatorname{proj}_{u_i}(v_j),
onde
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual (produto escalar).
Aplicamos com a ordem v_1,v_2,v_3,v_4.
Passo 1: u_1=v_1=(1,1,1,0).
Calculamos \langle u_1,u_1\rangle=3.
Passo 2: u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2).
\langle v_2,u_1\rangle = 3,\quad \operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{3}{3}u_1=u_1,
então
u_2 = v_2-u_1 = (2,0,1,1)-(1,1,1,0)=(1,-1,0,1).
Verificamos \langle u_2,u_2\rangle = 3.
Passo 3: u_3 = v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
\langle v_3,u_1\rangle = 3,\quad \operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=u_1.
\langle v_3,u_2\rangle = 1,\quad \operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{1}{3}u_2.
Logo
u_3 = v_3 - u_1 -\frac{1}{3}u_2.
Calculando:
v_3-u_1 = (-1,0,1,2),\quad \frac{1}{3}u_2=\Big(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},0,\tfrac{1}{3}\Big),
portanto
u_3 = \Big(-1-\tfrac{1}{3},\;0+\tfrac{1}{3},\;1-0,\;2-\tfrac{1}{3}\Big) = \Big(-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{1}{3},\;1,\;\tfrac{5}{3}\Big).
Uma versão inteira (escalar múltiplo) é 3u_3 = (-4,1,3,5). Note que escalas preservam ortogonalidade, então podemos usar 3u_3 como representante inteiro.
Passo 4: u_4 = v_4-\operatorname{proj}_{u_1}(v_4)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_4)-\operatorname{proj}_{u_3}(v_4).
Calculamos:
\langle v_4,u_1\rangle = 3\Rightarrow \operatorname{proj}_{u_1}(v_4)=u_1.
\langle v_4,u_2\rangle =0\Rightarrow \operatorname{proj}_{u_2}(v_4)=0.
\langle v_4,u_3\rangle =1,\qquad \langle u_3,u_3\rangle=\tfrac{17}{3}.
Então
\operatorname{proj}_{u_3}(v_4)=\frac{1}{17/3}u_3=\frac{3}{17}u_3.
Assim
u_4 = v_4-u_1-\frac{3}{17}u_3.
Calculando dá
u_4 = \Big(\tfrac{4}{17},\;\tfrac{16}{17},\;-\tfrac{20}{17},\;\tfrac{12}{17}\Big).
Multiplicando por 17 para ficar inteiro: 17u_4=(4,16,-20,12). Novamente é permitido usar esse múltiplo inteiro como representante ortogonal.

Passo 8

Resumo prático da base ortogonal (letra d): uma base ortogonal de W (usando escalações inteiras para ficar bonito) é, por exemplo,
\{\, (1,1,1,0),\; (1,-1,0,1),\; (-4,1,3,5),\; (4,16,-20,12)\,\},
pois são múltiplos escalares dos vetores u_1,u_2,u_3,u_4 obtidos pelo processo de Gram–Schmidt e entre si são ortogonais (produto escalar par a par é zero).

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram V. A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} com \mathbf{v}_1=(1,1,1,0),\\ \mathbf{v}_2=(2,0,1,1),\\ \mathbf{v}_3=(0,1,2,2),\\ \mathbf{v}_4=(1,2,0,1). A dimensão é \dim(W)=4 (logo W=\mathbb{R}^4).
(c) Sim, \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W. Uma combinação explícita é
\mathbf{v}=-\tfrac{5}{6}\mathbf{v}_1+\tfrac{5}{6}\mathbf{v}_2+\tfrac{1}{2}\mathbf{v}_3+\tfrac{1}{6}\mathbf{v}_4.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt, apresentada com vetores inteiros escalares) é
\{\, (1,1,1,0),\; (1,-1,0,1),\; (-4,1,3,5),\; (4,16,-20,12)\,\}.

Exercícios relacionados