Questão 4.8
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 1 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{2 , 0 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{0 , 1 , 2 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{1 , 2 , 0 , 1}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se \mathrm{v}=(1,0,1,2) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
e define o subespaço W=\mathrm{L}(S) (o subespaço gerado por S). O que se pede:
a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determinar uma base e a dimensão de W.
c) Verificar se \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W (ou seja, se \mathbf{v} é combinação linear de S).
d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
Passo 2
Definição de base e dimensão (resposta à letra a), explicada devagarinho.
Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores \{b_1,\dots,b_k\}\subset V que satisfaz duas propriedades: (i) os vetores são linearmente independentes; (ii) os vetores geram V, ou seja, \mathrm{L}(\{b_1,\dots,b_k\})=V. Em palavras: nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros, e qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V. É bem definido porque todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm a mesma quantidade de vetores.
Explicação curta do porquê: linearmente independentes significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; gerar significa cobrir todo o espaço. A dimensão indica “quantos graus de liberdade” o espaço tem.
Passo 3
Vamos determinar a dimensão de W e uma base (letra b). Estratégia: verificar se os vetores de S são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 e fazemos eliminação por linhas para encontrar o posto (rank). A matriz é
Recordando: o posto da matriz (número de pivôs não-nulos após eliminação) é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes. Se o posto for 4 então as quatro colunas são independentemente lineares e geram um subespaço de dimensão 4.]
Passo 4
Realizando eliminação (vou mostrar as operações e os resultados):
Por fim R_4=(0\\\ 0\\\ 0\\\ 3) tem um pivô na coluna 4. Assim temos pivôs nas quatro colunas; o posto é 4.]
Passo 5
Conclusão da letra b a partir do posto.
Como o posto (rank) da matriz das colunas é \,4, as quatro colunas são linearmente independentes. Logo os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 formam uma base de W.
Portanto \dim(W)=4. Como \dim(\mathbb{R}^4)=4 e W\subset\mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que W=\mathbb{R}^4.
Uma observação prática: quando número de vetores é igual à dimensão do espaço ambiente e eles são independentes, eles já formam base do ambiente todo.
Passo 6
Verificação da letra c: \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W?
Como W=\mathbb{R}^4, imediatamente \mathbf{v}\in W. Mas como o enunciado geralmente pede a combinação linear, vamos achar coeficientes c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
Resolvemos o sistema A\mathbf{c}=\mathbf{v} usando as mesmas operações de linha que fizemos acima, aplicadas ao vetor augmentado. Aplicando os passos (mostrados no Passo 4) ao vetor \mathbf{v} obtemos, após eliminação:
Gram–Schmidt (letra d): explicação da fórmula e aplicação passo a passo.
Fórmula do processo (caso de vetores em \mathbb{R}^n): dados vetores v_1,\dots,v_k linearmente independentes, definimos vetores ortogonais u_1,\dots,u_k por
Uma versão inteira (escalar múltiplo) é 3u_3 = (-4,1,3,5). Note que escalas preservam ortogonalidade, então podemos usar 3u_3 como representante inteiro.
pois são múltiplos escalares dos vetores u_1,u_2,u_3,u_4 obtidos pelo processo de Gram–Schmidt e entre si são ortogonais (produto escalar par a par é zero).
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram V. A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} com \mathbf{v}_1=(1,1,1,0),\\ \mathbf{v}_2=(2,0,1,1),\\ \mathbf{v}_3=(0,1,2,2),\\ \mathbf{v}_4=(1,2,0,1). A dimensão é \dim(W)=4 (logo W=\mathbb{R}^4).
(c) Sim, \mathbf{v}=(1,0,1,2)\in W. Uma combinação explícita é