Questão 0.2. Considerando , determine:
a) Um vetor unitário e ortogonal a e ;
b) Uma base positiva , onde ;
c) Uma base ortonormal , onde é paralelo a ;
d) A área do triângulo , onde ;
e) A norma do vetor u times v.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em R^3: u = 2i-j+2k, v=5i+5j-2k e w=3i+6j.
O conteúdo envolve produto vetorial, norma, bases orientadas e ortonormais, e área de triângulo via produto vetorial.
Passo 2
Calcular o vetor perpendicular a u e v usando o produto vetorial:
utimesv = i & j & k 2 & -1 & 2 5 & 5 & -2 =-8,i+14,j+15,k
A norma de r' é |r'|=tfracraiz43659=tfracraiz4853, então
r =r'|r'| =13raiz485(43,46,-20)
Definimos s=ptimesr. O cálculo mostra
s =-8,i+14,j+15,kraiz485,
e p,r,s é ortonormal e positivamente orientada.
Passo 5
A área do triângulo ABC com AB=u e AC=v é metade da norma do produto vetorial:
Área=12,|utimesv| =12,raiz485 Á
Passo 6
Relembrando, a norma de utimesv já foi calculada:
|utimesv|=raiz485
Resposta
a) -8,i+14,j+15,kraiz485.
b) beta=lv,w,vtimeswr=(5,5,-2),(3,6,0),(12,-6,15).
c) p=tfrac13(2,-1,2), r=tfrac13raiz485(43,46,-20), s=tfrac-8,i+14,j+15,kraiz485.
d) Área=tfrac12raiz485Á
e) |utimesv|=raiz485