Questão 0.2. Considerando u=2 i-j+2 k, v=5 i+5 j-2 k e w=3 i+6 j, determine:
a) Um vetor unitário e ortogonal a u e v;
b) Uma base positiva beta=a ; b ; c, onde a=v;
c) Uma base ortonormal beta=p ; r ; s, onde p é paralelo a u;
d) A área do triângulo A B C, onde A B=u, A C=v;
e) A norma do vetor u times v.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u = 2i-j+2k, v=5i+5j-2k e w=3i+6j.
O conteúdo envolve produto vetorial, norma, bases orientadas e ortonormais, e área de triângulo via produto vetorial.

Passo 2

Calcular o vetor perpendicular a u e v usando o produto vetorial:
utimesv = i & j & k 2 & -1 & 2 5 & 5 & -2 =-8,i+14,j+15,k
A norma desse vetor é
|utimesv| =raiz(-8)^2+14^2+15^2 =raiz64+196+225 =raiz485
Um vetor unitário ortogonal a u e v é
utimesv|utimesv| =-8,i+14,j+15,kraiz485

Passo 3

Para construir uma base positiva beta=a;b;c com a=v, escolhemos b=w (não paralelo a v) e definimos c=vtimesw.
Calculando
vtimesw = i & j & k 5 & 5 & -2 3 & 6 & 0 =12,i-6,j+15,k
Assim v,w,vtimesw é uma base orientada positivamente.

Passo 4

Para obter uma base ortonormal p,r,s com pparal<=lu, fazemos:
  1. Normalizamos u:
|u|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=3, p=u|u| =13(2,-1,2)
  1. Aplicamos Gram–Schmidt a v para obter rperpp:
vcdotp =13(5cdot2+5cdot(-1)+(-2)cdot2) =13,
r'=v-(vcdotp),p =l(5,5,-2r)-tfrac13l(tfrac23,-tfrac13,tfrac23r) =l(tfrac439,tfrac469,-tfrac209r)
A norma de r' é |r'|=tfracraiz43659=tfracraiz4853, então
r =r'|r'| =13raiz485(43,46,-20)
  1. Definimos s=ptimesr. O cálculo mostra
s =-8,i+14,j+15,kraiz485,
e p,r,s é ortonormal e positivamente orientada.

Passo 5

A área do triângulo ABC com AB=u e AC=v é metade da norma do produto vetorial:
Área=12,|utimesv| =12,raiz485 Á

Passo 6

Relembrando, a norma de utimesv já foi calculada:
|utimesv|=raiz485

Resposta

a) -8,i+14,j+15,kraiz485.
b) beta=lv,w,vtimeswr=(5,5,-2),(3,6,0),(12,-6,15).
c) p=tfrac13(2,-1,2), r=tfrac13raiz485(43,46,-20), s=tfrac-8,i+14,j+15,kraiz485.
d) Área=tfrac12raiz485Á
e) |utimesv|=raiz485

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