As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Encontre a solução completa (também chamada de solução geral) para
[llll 1 & 3 & 1 & 2 2 & 6 & 4 & 8 0 & 0 & 2 & 4 ][l x y z t ]=[l 1 3 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema Ax=b com
A= 1 & 3 & 1 & 2 2 & 6 & 4 & 8 0 & 0 & 2 & 4 , x=(x,y,z,t)^T, b=(1,3,1)^T,
encontrando uma solução particular xp e a solução geral da parte homogênea xn. Vamos usar eliminação de Gauss na matriz aumentada.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e eliminamos a primeira coluna na segunda linha:
[cccc|c 1 & 3 & 1 & 2 & 1 2 & 6 & 4 & 8 & 3 0 & 0 & 2 & 4 & 1 ] xrightarrowR2>=ts R2-2R1 [cccc|c 1 & 3 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & 2 & 4 & 1 ]
As linhas 2 e 3 ficaram idênticas, uma delas é redundante.

Passo 3

O sistema reduzido equivale a
(1) x + 3y + z + 2t = 1
(2) 2z + 4t = 1.

Passo 4

Da equação (2) isolamos z:
2z + 4t = 1 Longrightarrow z = 1 - 4t2 = 12 - 2t

Passo 5

Substituímos esse z na (1) para x:
x + 3y + l(tfrac12 - 2tr) + 2t = 1 Longrightarrow x = 1 - 3y - tfrac12 + 2t - 2t = tfrac12 - 3y

Passo 6

Como e não aparecem de forma vinculada nas equações, são variáveis livres. Seja
Então a solução geral é

Resposta

A solução particular pode ser escolhida como
xp = tfrac120tfrac120,
e a parte homogênea (núcleo de A) é gerada pelos vetores
-3100, 00-21
Portanto a solução geral é
x = xp + s-3100 + r00-21,
com s,rinR.

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