Questão 7. Considere um “aerofólio simétrico” dado por uma elipse de comprimento
e espessura
submetido a um escoamento horizontal com velocidade
. Determine a distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento que descreve esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino. Calcule a distribuição de
e compare com a distribuição obtida pela teoria potencial.
Passo 1
O enunciado pede que a gente modele um aerofólio simétrico de seção elíptica (comprimento total
, meia-espessura máxima
) em escoamento uniforme horizontal de velocidade
. Segundo a teoria fina de aerofólio, a espessura é representada por uma distribuição de fontes ao longo da linha média (camber line reta), cujo esforço principal é anular a velocidade normal induzida pelo fluxo sobre a superfície. Vamos precisar de:
• A função que define a meia-espessura da elipse.
• A condição de não-penetração linearizada, que leva a uma intensidade de fonte .
• A expressão de em função da velocidade tangencial induzida por essas fontes.
• A distribuição de “exata” dada pela teoria potencial para um cilindro elíptico (mapeamento de Joukowski).
• A função que define a meia-espessura
• A condição de não-penetração linearizada, que leva a uma intensidade de fonte
• A expressão de
• A distribuição de
Passo 2
Definimos a meia-espessura da elipse por
onde
. A derivada é
Passo 3
Na teoria fina, a intensidade de fonte por unidade de comprimento
satisfaz (linearizado)
Em termos do parâmetro
, fica
Passo 4
O potencial das fontes induz uma componente tangencial de velocidade sobre a linha média
Esse integral é um caso padrão de Hilbert transform e resulta em
Passo 5
O coeficiente de pressão na face superior
ou inferior
é
Em módulo (sinal trocado para comparar com “exato” simétrico)
Passo 6
Agora a distribuição exata de
para potencial em torno de um cilindro elíptico de semieixos
(mapeamento de Joukowski ou mapeamento elíptico) pode ser escrita em função do ângulo polar
tal que
,
. A velocidade tangencial é
e daí
Em termos de
:
Passo 7
Comparando
• Pela teoria fina: , que diverge como
.
• Pela teoria potencial:
• Pela teoria fina:
• Pela teoria potencial:
que também é singular em
com o mesmo expoente, mas apresenta valores finitos (e relativamente menores) para
. Para
, ambas coincidem em toda a região interna (erro
), mas a teoria fina superestima ligeiramente o valor de
próximo ao bordo de fuga e de ataque.
Resposta
σ(x)=−2U∞ t x/√(
−
)