Questão 7. Considere um “aerofólio simétrico” dado por uma elipse de comprimento 2 a e espessura 2 b=2 t a submetido a um escoamento horizontal com velocidade U_{\infty}. Determine a distribuição da intensidade de fonte por unidade de comprimento que descreve esse aerofólio segundo a teoria do aerofólio fino. Calcule a distribuição de C_{p} e compare com a distribuição obtida pela teoria potencial.

Passo 1

O enunciado pede que a gente modele um aerofólio simétrico de seção elíptica (comprimento total 2a, meia-espessura máxima b=ta) em escoamento uniforme horizontal de velocidade U_\infty. Segundo a teoria fina de aerofólio, a espessura é representada por uma distribuição de fontes ao longo da linha média (camber line reta), cujo esforço principal é anular a velocidade normal induzida pelo fluxo sobre a superfície. Vamos precisar de:
• A função que define a meia-espessura y_t(x) da elipse.
• A condição de não-penetração linearizada, que leva a uma intensidade de fonte \sigma(x)=2\,U_\infty\,\mathrm{d}y_t/\mathrm{d}x.
• A expressão de C_p em função da velocidade tangencial induzida por essas fontes.
• A distribuição de C_p “exata” dada pela teoria potencial para um cilindro elíptico (mapeamento de Joukowski).

Passo 2

Definimos a meia-espessura da elipse por
y_t(x)\;=\;b\;\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad\text{para}\;-a\le x\le a
onde b=ta. A derivada é
\frac{\mathrm{d}y_t}{\mathrm{d}x} \;=\;b\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(1-\tfrac{x^2}{a^2}\Bigr)^{1/2} \;=\;-\,\frac{b\,x}{a^2\sqrt{1-\tfrac{x^2}{a^2}}}\,.

Passo 3

Na teoria fina, a intensidade de fonte por unidade de comprimento \sigma(x) satisfaz (linearizado)
\sigma(x) =2\,U_\infty\;\frac{\mathrm{d}y_t}{\mathrm{d}x} =-\,2\,U_\infty\,\frac{b\,x}{a^2\sqrt{1-\tfrac{x^2}{a^2}}}\,.
Em termos do parâmetro t=b/a, fica
\sigma(x) =-\,2\,U_\infty\,t\;\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\,.

Passo 4

O potencial das fontes induz uma componente tangencial de velocidade sobre a linha média
\phi_t(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}\sigma(\xi)\,\ln|x-\xi|\;\mathrm{d}\xi \quad\Longrightarrow\quad V_t(x)=\frac{\mathrm{d}\phi_t}{\mathrm{d}x}\,.
Esse integral é um caso padrão de Hilbert transform e resulta em
\frac{V_t(x)}{U_\infty} =\mp\,t\;\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \quad\text{(sinal “\(-\)” em cima, “\(+\)” em baixo).}

Passo 5

O coeficiente de pressão na face superior - ou inferior + é
C_p(x) = -\,2\,\frac{V_t(x)}{U_\infty} = \pm\,2\,t\;\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\,.
Em módulo (sinal trocado para comparar com “exato” simétrico)
C_{p,\mathrm{thin}}(x) =2\,t\;\frac{|x|}{\sqrt{a^2-x^2}} \quad\text{(singular em \(x\to\pm a\)).}

Passo 6

Agora a distribuição exata de C_p para potencial em torno de um cilindro elíptico de semieixos a,b (mapeamento de Joukowski ou mapeamento elíptico) pode ser escrita em função do ângulo polar \theta tal que x=a\cos\theta, y=b\sin\theta. A velocidade tangencial é
\frac{V(\theta)}{U_\infty} =\frac{ab}{\sqrt{(b\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2}}
e daí
C_{p,\mathrm{pot}}(\theta) =1-\Bigl(\tfrac{V(\theta)}{U_\infty}\Bigr)^{2} =1-\frac{a^2b^2}{\,b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta\,}\,.
Em termos de x=a\cos\theta:
C_{p,\mathrm{pot}}(x) =1-\frac{a^2b^2}{\,b^2\,(x^2/a^2) + a^2\bigl(1-x^2/a^2\bigr)\,} =1-\frac{b^2}{\,b^2+(a^2-b^2)\,\tfrac{x^2}{a^2}\,}\,.

Passo 7

Comparando
• Pela teoria fina: C_p\sim2t\,|x|/\sqrt{a^2-x^2}, que diverge como (a-|x|)^{-1/2}.
• Pela teoria potencial:
C_{p,\mathrm{pot}}(x) =1-\frac{t^2}{\,t^2+(1-t^2)\,x^2/a^2\,}\,,
que também é singular em |x|\to a com o mesmo expoente, mas apresenta valores finitos (e relativamente menores) para |x|\ll a. Para t\ll1, ambas coincidem em toda a região interna (erro O(t^2)), mas a teoria fina superestima ligeiramente o valor de |C_p| próximo ao bordo de fuga e de ataque.

Resposta

σ(x)=−2U∞ t x/√( a^{2} x^{2})
C_{p,thin}(x) =\pm 2 t x/√( a^{2} x^{2})
C_{p,pot}(x) =1 b^{2}/[ b^{2}+( a^{2} b^{2}) x^{2}/ a^{2}], com b=ta.

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