Questão 2. Considere uma aplicação linear T entre dois espaços de Banach X e Y com a seguinte propriedade: Para qualquer sequência (xn) subset X que converge a zero e tal que (T xn)n é convergente, temos que T(xn) converge a zero. Prove que T é contínua.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aplicação linear T:Xto Y entre espaços de Banach e que, sempre que uma sequência l(xnr)subset X satisfaz xnto0 e l(Txnr) é convergente em Y, então obrigatoriamente Txnto0. Vamos usar o Teorema do Grafo Fechado, que afirma:
se X e Y são Banach e T:Xto Y é linear com grafo fechado em Xtimes Y, então T é contínua.

Passo 2

Mostremos que o grafo de T,
graT = l(x,T(x)) : xin Xr,
é fechado em Xtimes Y.
Seja l(xn,T(xn)r) uma sequência em graT que converge para (x,y) em Xtimes Y. Então
xn ;to; x e T(xn);to;y
Defina zn = xn - x. Então znto0. Como T é linear,
T(zn) ;=; T(xn)-T(x),
e como T(xn)to y, segue que T(zn) converge em Y, com limite y - T(x). Pelas hipóteses do enunciado, qualquer sequência em X que tenda a zero e cuja imagem seja convergente deve ter imagem tendendo a zero; logo
T(zn);to;0 Longrightarrow y - T(x) = 0 Longrightarrow y = T(x)
Portanto (x,y)ingraT e concluímos que graT é fechado.

Passo 3

Pelo Teorema do Grafo Fechado, uma aplicação linear entre Banach cujo grafo é fechado é necessariamente contínua. Como acabamos de provar que graT é fechado, segue que T é contínua.

Resposta

T é contínua.

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