Questão 2. Considere uma aplicação linear
entre dois espaços de Banach
e
com a seguinte propriedade: Para qualquer sequência
que converge a zero e tal que
é convergente, temos que
converge a zero. Prove que
é contínua.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma aplicação linear
entre espaços de Banach e que, sempre que uma sequência
satisfaz
e
é convergente em
, então obrigatoriamente
. Vamos usar o Teorema do Grafo Fechado, que afirma:
se e
são Banach e
é linear com grafo fechado em
, então
é contínua.
se
Passo 2
Mostremos que o grafo de
,
é fechado em
.
Seja uma sequência em
que converge para
em
. Então
Seja
Defina
. Então
. Como
é linear,
e como
, segue que
converge em
, com limite
. Pelas hipóteses do enunciado, qualquer sequência em
que tenda a zero e cuja imagem seja convergente deve ter imagem tendendo a zero; logo
Portanto
e concluímos que
é fechado.
Passo 3
Pelo Teorema do Grafo Fechado, uma aplicação linear entre Banach cujo grafo é fechado é necessariamente contínua. Como acabamos de provar que
é fechado, segue que
é contínua.