Q 8 Verifique se as transformações lineares T1(x, y)=(x-y, y-x, 2 x-y) e T2(x, y, z)=(x+y+z, x-y-z) são injetoras.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
T1colonR^2toR^3 definida por
T1(x,y) = (,x - y,;y - x,;2x - y,)
e
T2colonR^3toR^2 definida por
T2(x,y,z) = (,x + y + z,;x - y - z,)
Queremos verificar se cada uma é injetora. Como são lineares, basta checar se o núcleo é apenas o vetor zero.

Passo 2

Calcular ker(T1). Resolvemos
x - y = 0, y - x = 0, 2x - y = 0
Da primeira equação vem x=y, e a segunda é redundante. Substituindo na terceira:
2x - x = 0implies x=0implies y=0
Logo
ker(T1)=(0,0),
que é trivial, portanto T1 é injetora.

Passo 3

Calcular ker(T2). Resolvemos
x + y + z = 0, x - y - z = 0
Somando as duas equações:
2x = 0implies x=0
Então da primeira fica y+z=0implies y=-z. Assim
ker(T2)=(0,t,-t)mid tinR,
que não é apenas o zero. Logo T2 não é injetora.

Passo 4

Comparando, ker(T1)=(0,0) e ker(T2)neq(0,0,0). Portanto:

Resposta

T1 é injetora.
T2 não é injetora.

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