Q 8 Verifique se as transformações lineares
e
são injetoras.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares
definida por
e
definida por
Queremos verificar se cada uma é injetora. Como são lineares, basta checar se o núcleo é apenas o vetor zero.
Passo 2
Calcular
. Resolvemos
Da primeira equação vem
, e a segunda é redundante. Substituindo na terceira:
Logo
que é trivial, portanto
é injetora.
Passo 3
Calcular
. Resolvemos
Somando as duas equações:
Então da primeira fica
. Assim
que não é apenas o zero. Logo
não é injetora.
Passo 4
Comparando,
e
. Portanto: