Questão 1. Seja (xn)n uma sequência em um espaço normado X tal que varphi(xn) converge a zero para todo varphi in X^*. Defina T: X^* c0 por T(varphi)=(varphi(xn))n. Mostre que T é limitada.

Passo 1

O enunciado está em um espaço normado X e diz que, para uma sequência l(xnr)subset X, vale varphi(xn)to 0 para todo funcional linear contínuo varphiin X^*. Definimos
Tcolon X^*to c0, T(varphi)=l(varphi(xn)r)n
Queremos mostrar que T é linear e limitado (ou seja, contínuo), ou seja, existe constante C<infty tal que
|T(varphi)|infty=supn|varphi(xn)|<= C,|varphi|X^*
para todo varphiin X^*. Vamos usar o Teorema da Uniform Boundedness (Banach–Steinhaus).

Passo 2

Para cada ninN definimos o funcional
Tncolon X^*to K, Tn(varphi)=varphi(xn)
Claramente cada Tn é linear. Além disso, pela hipótese varphi(xn)to0 temos, para cada varphi,
supnl|Tn(varphi)r| =supn|varphi(xn)|<infty
Logo a família Tn é pontualmente limitada em X^*.

Passo 3

Pelo Teorema da Uniform Boundedness, de uma família pontualmente limitada de operadores lineares num espaço de Banach (e X^* é Banach), segue
supn|Tn|<infty
Mas
|Tn| =sup|varphi|<=1|Tn(varphi)| =sup|varphi|<=1|varphi(xn)| =|xn|X,
pelo fato de a norma no dual ser |varphi|=sup|x|<=1|varphi(x)|. Assim
M:=supn|xn|<infty

Passo 4

Agora, para todo varphiin X^*,
|T(varphi)|infty =supn|varphi(xn)| =supn|Tn(varphi)| <=l(supn|Tn|r)|varphi| =M,|varphi|
Isso mostra que T é limitado e |T|<= M.

Resposta

T é um operador linear contínuo (limitado), com
|T|<=supn|xn|<infty

Exercícios relacionados