Questão 1. Seja
uma sequência em um espaço normado
tal que
converge a zero para todo
. Defina
por
. Mostre que
é limitada.
Passo 1
O enunciado está em um espaço normado
e diz que, para uma sequência
, vale
para todo funcional linear contínuo
. Definimos
Queremos mostrar que
é linear e limitado (ou seja, contínuo), ou seja, existe constante
tal que
para todo
. Vamos usar o Teorema da Uniform Boundedness (Banach–Steinhaus).
Passo 2
Para cada
definimos o funcional
Claramente cada
é linear. Além disso, pela hipótese
temos, para cada
,
Logo a família
Tn é pontualmente limitada em
X^* .
Passo 3
Pelo Teorema da Uniform Boundedness, de uma família pontualmente limitada de operadores lineares num espaço de Banach (e
X^* é Banach), segue
Mas
pelo fato de a norma no dual ser
|varphi|=sup|x|<=1|varphi(x)| . Assim
Passo 4
Agora, para todo
varphiin X^* ,
Isso mostra que
T é limitado e
|T|<= M .