Prove que uma recorrência de primeira ordem, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), com uma condição inicial x_{1}=a, tem sempre uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência \;x_{n+1}=f(x_n)\; com condição inicial \;x_1=a\;. O que pede é provar que sempre existe uma sequência (x_n)_{n\ge1} que satisfaça simultaneamente a condição inicial e a regra de recorrência para todo n\ge1.
Vou trabalhar sob a suposição natural (não pedida explicitamente no enunciado, mas necessária) de que existe um conjunto não vazio S tal que f\colon S\to S e a\in S. Sem essa hipótese não faria sentido iterar f indefinidamente, porque a imagem poderia sair do domínio.
Passo 2
Primeiro, preciso dizer claramente o que significa “ser solução”. Uma sequência (x_n)_{n\ge1} é solução da recorrência com aquela condição inicial se e somente se valem as duas propriedades:
\;x_1=a\;.
Para todo n\ge1, \;x_{n+1}=f(x_n)\;.
A tarefa é construir (ou provar a existência de) tal sequência e, se possível, mostrar que ela é única.
Passo 3
Construção explícita por iteração (definição direta). Vou definir as composições iteradas de f: escrevo \;f^0 para a aplicação identidade em S (ou seja, f^0(x)=x para todo x\in S) e, para k\ge1,
Assim, se x_k está bem definida, x_{k+1} também e satisfaz a relação da recorrência. Pelo princípio da indução (ou pela definição recursiva), a igualdade \;x_{n+1}=f(x_n)\; vale para todo n\ge1. Portanto a sequência construída é de fato uma solução.
Passo 5
Unicidade da solução (opcional, mas útil). Suponha que exista outra sequência (y_n)_{n\ge1} que também satisfaça y_1=a e y_{n+1}=f(y_n) para todo n. Provo por indução que y_n=x_n para todo n:
Base: y_1=a=x_1.
Passo indutivo: suponha y_k=x_k. Então
y_{k+1}=f(y_k)=f(x_k)=x_{k+1}.
Logo por indução y_n=x_n para todo n. Isso mostra que a solução é única.
Passo 6
Comentário final e observação prática. Concluímos que, sob a hipótese natural f\colon S\to S com a\in S, existe exatamente uma sequência solução dada por iteração de f. Na prática, essa solução é a sequência a,\;f(a),\;f(f(a)),\;f(f(f(a))),\ldots, isto é, x_n=f^{\,n-1}(a). Se a hipótese f(S)\subseteq S não for válida (isto é, se a imagem de f sair do domínio onde f está definida), então a iteração pode falhar e não haverá solução definida para todos os n; por isso a suposição sobre domínio/codomain é essencial.
Resposta
Existe exatamente uma solução, dada por x_n=f^{\,n-1}(a) para todo n\ge1.