Prove que uma recorrência de primeira ordem, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), com uma condição inicial x_{1}=a, tem sempre uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência \;x_{n+1}=f(x_n)\; com condição inicial \;x_1=a\;. O que pede é provar que sempre existe uma sequência (x_n)_{n\ge1} que satisfaça simultaneamente a condição inicial e a regra de recorrência para todo n\ge1.
Vou trabalhar sob a suposição natural (não pedida explicitamente no enunciado, mas necessária) de que existe um conjunto não vazio S tal que f\colon S\to S e a\in S. Sem essa hipótese não faria sentido iterar f indefinidamente, porque a imagem poderia sair do domínio.

Passo 2

Primeiro, preciso dizer claramente o que significa “ser solução”. Uma sequência (x_n)_{n\ge1} é solução da recorrência com aquela condição inicial se e somente se valem as duas propriedades:
  1. \;x_1=a\;.
  2. Para todo n\ge1, \;x_{n+1}=f(x_n)\;.
    A tarefa é construir (ou provar a existência de) tal sequência e, se possível, mostrar que ela é única.

Passo 3

Construção explícita por iteração (definição direta). Vou definir as composições iteradas de f: escrevo \;f^0 para a aplicação identidade em S (ou seja, f^0(x)=x para todo x\in S) e, para k\ge1,
f^k := \underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{k\text{ vezes}}.
Agora defino a sequência (x_n)_{n\ge1} por
x_n := f^{\,n-1}(a)\quad\text{para todo }n\ge1.
Esta definição faz sentido porque f\colon S\to S e a\in S, logo cada aplicação de f produz um elemento de S e podemos compor quantas vezes quisermos.

Passo 4

Verificação por indução de que a sequência definida atende o problema. Vou checar as duas propriedades da solução:
Base ( n=1): pela definição, x_1=f^{\,0}(a)=a. Logo a condição inicial está satisfeita.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha x_k=f^{\,k-1}(a). Então
x_{k+1}=f^{\,k}(a)=f\big(f^{\,k-1}(a)\big)=f(x_k).
Assim, se x_k está bem definida, x_{k+1} também e satisfaz a relação da recorrência. Pelo princípio da indução (ou pela definição recursiva), a igualdade \;x_{n+1}=f(x_n)\; vale para todo n\ge1. Portanto a sequência construída é de fato uma solução.

Passo 5

Unicidade da solução (opcional, mas útil). Suponha que exista outra sequência (y_n)_{n\ge1} que também satisfaça y_1=a e y_{n+1}=f(y_n) para todo n. Provo por indução que y_n=x_n para todo n:
Base: y_1=a=x_1.
Passo indutivo: suponha y_k=x_k. Então
y_{k+1}=f(y_k)=f(x_k)=x_{k+1}.
Logo por indução y_n=x_n para todo n. Isso mostra que a solução é única.

Passo 6

Comentário final e observação prática. Concluímos que, sob a hipótese natural f\colon S\to S com a\in S, existe exatamente uma sequência solução dada por iteração de f. Na prática, essa solução é a sequência a,\;f(a),\;f(f(a)),\;f(f(f(a))),\ldots, isto é, x_n=f^{\,n-1}(a). Se a hipótese f(S)\subseteq S não for válida (isto é, se a imagem de f sair do domínio onde f está definida), então a iteração pode falhar e não haverá solução definida para todos os n; por isso a suposição sobre domínio/codomain é essencial.

Resposta

Existe exatamente uma solução, dada por x_n=f^{\,n-1}(a) para todo n\ge1.

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