Considere a matriz B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\\\ 5 & -3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right].
(a) Calcule o polinômio característico associado à matriz B .(1 \mathrm{pt})
(b) Obtenha os autovalores da matriz B .(1 \mathrm{pt})
(c) Calcule os autoespaços e autovetores associados aos autovalores obtidos.(3 pt)
(d) Quais são as multiplicidades aritmética e geométrica dos autovalores encontrados? (1 pt)
(e) Por que é possível afirmar que a matriz B é diagonalizável? (1 pt)
(f) Escreva matrizes P e D tais que P^{-1} B P=D. (1 pt)
e pede, em partes:
(a) o polinômio característico associado a B;\n
(b) os autovalores de B;\n
(c) os autoespaços e autovetores associados a esses autovalores;\n
(d) as multiplicidades aritmética (algébrica) e geométrica de cada autovalor;\n
(e) justificativa de por que B é diagonalizável;\n
(f) matrizes P e D tais que P^{-1}BP=D.\n
Também somos informados implicitamente que devemos encontrar vetores próprios não nulos para cada autovalor (ou bases dos autoespaços).]
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico. Definição que vamos usar: o polinômio característico de B é dado por
p(\lambda)=\det(B-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável escalar. Aqui B-\lambda I é
Perceba que a terceira coluna tem entradas 0,0,1-\lambda. Isso facilita o cálculo do determinante: o determinante fatoriza como o produto de 1-\lambda pelo determinante da submatriz 2\times2 no canto superior esquerdo. Assim
Agora vamos encontrar os autoespaços (espaços próprios) e autovetores associados a cada autovalor. Lembre-se: para um autovalor [\lambda) o autoespaço é o núcleo da transformação B-\lambda I, isto é o conjunto de vetores v tais que (B-\lambda I)v=0. Vamos resolver linearmente cada caso e explicar passo a passo como manipular as equações.
Da terceira equação obtemos x=0\]. Substituindo na primeira dá \[y=2x=0. Não há nenhuma equação envolvendo z, então z é livre (qualquer valor). Conclusão: todos os vetores próprios associados a \lambda=1 têm a forma
Para evitar fração, podemos multiplicar por 3 e escolher o vetor próprio mais simples inteiro:
\begin{pmatrix}3\\[2pt]15\\[2pt]-1\end{pmatrix}
é também um autovetor associado a \lambda=-2. Uma base do autoespaço para \lambda=-2 é \left\{\begin{pmatrix}3\\[2pt]15\\[2pt]-1\end{pmatrix}\right\}. Dimensão 1.]
Passo 5
Resumo dos autoespaços e autovetores encontrados (lembrando: qualquer múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor):
Multiplicidade aritmética (algébrica) de um autovalor é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico. Como p(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+2) tem cada fator linear distinto, cada autovalor \lambda=1,2,-2 tem multiplicidade algébrica igual a 1.\n
Multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do seu autoespaço. Calculamos as dimensões e todas deram 1. Então para cada autovalor a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 7
Por que B é diagonalizável?\n
Um critério prático: uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) se existir uma base do espaço formada por n vetores próprios linearmente independentes. Aqui n=3 e encontramos três autovalores distintos, cada um com um autovetor não nulo. Autovalores distintos garantem vetores próprios linearmente independentes; alternativamente, as multiplicidades geométricas somam 1+1+1=3, que é n. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores e B é diagonalizável.
Passo 8
Por fim, construímos P e D. Escolhendo como colunas de P uma base de autovetores e tomando D com os autovalores na mesma ordem na diagonal, uma escolha conveniente é ordenar os autovalores como 1,2,-2. Então:
(c) \displaystyle \text{Para }\lambda=1:\\ \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\};\quad\text{para }\lambda=2:\\ \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\};\quad\text{para }\lambda=-2:\\ \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\[2pt]15\\[2pt]-1\end{pmatrix}\right\}.\n
(d) Multiplicidade aritmética (algébrica): 1 para cada autovalor. Multiplicidade geométrica: 1 para cada autovalor.\n
(e) Porque existem três autovalores distintos (ou, equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas é 3), logo há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores; assim B é diagonalizável.\n
(f) Uma escolha é