Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores. Para isso usaremos a definição
e em seguida resolveremos
p(lambda)=0 para achar os autovalores e, depois, encontraremos vetores não nulos que satisfaçam
(A-lambda I)x=0 .
Passo 2
Calculamos o polinômio característico:
Expandindo,
Passo 3
Resolvendo
p(lambda)=0 :
As raízes são
portanto
Passo 4
Para
lambda1=2 , resolvemos
Isso leva à equação
x1 + x2 = 0 . Um autovetor correspondente é
Passo 5
Para
lambda2=4 , resolvemos
Isso leva à equação
-x1 + x2 = 0 , ou seja,
x2=x1 . Um autovetor correspondente é
Resposta
Autovalores:
Autovetores: para