Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(ll3 & 1 1 & 3)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 11 & 3
e pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores. Para isso usaremos a definição
p(lambda)=det(A-lambda I)
e em seguida resolveremos p(lambda)=0 para achar os autovalores e, depois, encontraremos vetores não nulos que satisfaçam (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
p(lambda)=detl(3-lambda & 11 & 3-lambdar) =(3-lambda)^2 -1
Expandindo,
p(lambda)=(3-lambda)^2 -1 =lambda^2 -6lambda +9 -1 =lambda^2 -6lambda +8

Passo 3

Resolvendo p(lambda)=0:
lambda^2 -6lambda +8=0
As raízes são
lambda1,2 = 6pmraiz(-6)^2 -4cdot1cdot82 =6pmraiz36-322 =6pm22,
portanto
lambda1=2, lambda2=4

Passo 4

Para lambda1=2, resolvemos
(A-2I)x =1 & 11 & 1x = 0
Isso leva à equação x1 + x2 = 0. Um autovetor correspondente é
1-1

Passo 5

Para lambda2=4, resolvemos
(A-4I)x =-1 & 11 & -1x = 0
Isso leva à equação -x1 + x2 = 0, ou seja, x2=x1. Um autovetor correspondente é
11

Resposta

p(lambda)=lambda^2 -6lambda +8
Autovalores: lambda1=2, lambda2=4
Autovetores: para lambda1=2, 1-1; para lambda2=4, 11.

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