Questão 6 Considere as bases do espaço R^3 :
B=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0), C=(2,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
Calcule as coordenadas do vetor u=(3,2,1) na base C, sabendo que suas coordenadas na base B são [u]B=(1,0,2).

Passo 1

O enunciado dá duas bases do espaço R^3:
B=,b1=(1,0,1),;b2=(0,1,1),;b3=(1,1,0),
C=,c1=(2,1,0),;c2=(0,1,1),;c3=(1,0,1),
e informa que o vetor u tem coordenadas [u]B=(1,0,2). Nosso objetivo é achar [u]C. Para isso precisamos (1) obter u em coordenadas canônicas a partir de [u]B e (2) resolver um sistema para expressar esse u como combinação linear dos vetores de C.

Passo 2

Usando [u]B=(1,0,2), escrevemos
u = 1cdot b1 + 0cdot b2 + 2cdot b3
Como b1=(1,0,1) e b3=(1,1,0), isso dá
u = (1,0,1) + 2,(1,1,0) = (1+2,;0+2,;1+0) = (3,2,1)

Passo 3

Agora queremos achar escalares a,b,c tais que
a,c1 + b,c2 + c,c3 = (3,2,1),
isto é,
2a + 0b + 1c = 3, a + b + 0c = 2, 0a + b + c = 1

Passo 4

Resolver o sistema:
a) Da segunda equação a + b = 2 segue b = 2 - a.
b) Da terceira b + c = 1 temos c = 1 - b = 1 - (2 - a) = a - 1.
c) Substituindo na primeira 2a + c = 3
2a + (a - 1) = 3 Longrightarrow 3a - 1 = 3 Longrightarrow a = tfrac43
Então
b = 2 - tfrac43 = tfrac23, c = tfrac43 - 1 = tfrac13

Resposta

[u]C=l(tfrac43,tfrac23,tfrac13r).

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