As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
22. A partir de A=[ll4 & 1 2 & 3] encontre A^2 e A^-1 e A-lambda I e seus determinantes. Quais dois valores de lambda levam a det(A-lambda I)=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 12 & 3
e pede para calcular A^2, A^-1, A-lambda I e seus determinantes, além de achar os valores de lambda que anulam det(A-lambda I). Vamos usar multiplicação de matrizes, a fórmula da inversa de 2times 2 e o polinômio característico.

Passo 2

Calcular A^2 = A cdot A. Fazendo produto de linha por coluna:
A^2 = 4 & 12 & 3 4 & 12 & 3 = 4 cdot 4 + 1 cdot 2 & 4 cdot 1 + 1 cdot 3 2 cdot 4 + 3 cdot 2 & 2 cdot 1 + 3 cdot 3 = 18 & 714 & 11

Passo 3

Calcular det(A) e usar para det(A^2).
det(A) = 4cdot3 - 1cdot2 = 12 - 2 = 10
Como det(A^2) = (det A)^2, temos
det(A^2) = 10^2 = 100

Passo 4

Calcular A^-1 pela fórmula para matriz 2times 2:
A^-1 = 1det(A) 3 & -1 -2 & 4 = 110 3 & -1 -2 & 4
Logo
det(A^-1) = 1det(A) = 110

Passo 5

Formar A - lambda I e calcular seu determinante:
A - lambda I = 4-lambda & 12 & 3-lambda, det(A-lambda I) = (4-lambda)(3-lambda) - 2
Expandindo:
det(A-lambda I) = lambda^2 -7lambda +10

Passo 6

Determinar lambda tais que det(A-lambda I)=0:
lambda^2 -7lambda +10 = 0 Longrightarrow (lambda-5)(lambda-2)=0
Logo os valores são
lambda = 5 e lambda = 2

Resposta

A^2 = 18 & 714 & 11, det(A^2)=100
A^-1 = 1103 & -1-2 & 4, det(A^-1)=tfrac110
A - lambda I = 4-lambda & 12 & 3-lambda, det(A-lambda I)=lambda^2 -7lambda +10
Os valores de lambda que anulam det(A-lambda I) são lambda=5 e lambda=2.

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