Questão 5 Sejam as bases de R^2 :
B=v1=(1,2), v2=(3,1), B^prime=w1=(2,1), w2=(-1,1)
a) Encontre a matriz de mudança de base de B para B^prime.
b) Use essa matriz para encontrar as coordenadas do vetor v=(4,5) na base B^prime, sabendo que suas coordenadas na base B são [v]B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B=v1=(1,2),;v2=(3,1) e
B'=w1=(2,1),;w2=(-1,1).
(a) Pede a matriz de mudança de coordenadas de B para B'.
(b) Usar essa matriz para obter as coordenadas de v=(4,5) na base B', sabendo que suas coordenadas em B são [v]B.
Para (a) vamos achar as coordenadas de v1 e v2 na base B' e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas. Para (b) resolvemos um sistema para [v]B e então multiplicamos pela matriz de mudança de base.

Passo 2

Achar
isto é
Resolvendo, . Assim
Para fazemos
ou
Dessa, , logo
]

Passo 3

A matriz de mudança de base de B para B' é
P = 1 & tfrac43[4pt] 1 & -tfrac13 ,
pois suas colunas são [v1]B' e [v2]B'.]

Passo 4

Expressar
ou seja
Resolvendo, . Assim
]

Passo 5

Multiplicamos P por [v]B para obter [v]B':
[v]B' = P,[v]B = 1 & tfrac43[4pt] 1 & -tfrac13 tfrac115[4pt]tfrac35 = 3[4pt]2 ]

Resposta

(a) P=1 & tfrac43[4pt]1 & -tfrac13
(b) [v]B'=3[4pt]2]

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