As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
21. A partir de a d-b c, encontre os determinantes de A e A^-1 e A-lambda I :
A=[ll 2 & 1 1 & 2 ] e A^-1=13[cc 2 & -1 -1 & 2 ] e A-lambda I=[cc 2-lambda & 1 1 & 2-lambda ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular determinantes de matrizes 2times2 usando a regra
deta & b c & d=ad-bc
Vamos aplicar isso em A, em A^-1 e em A-lambda I.

Passo 2

Para A=2 & 1 1 & 2, usamos
det(A)=2cdot2-1cdot1=4-1=3

Passo 3

Para A^-1=tfrac132 & -1 -1 & 2 há duas formas rápidas:
(i) usar det(A^-1)=1/det(A), dando det(A^-1)=1/3.
(ii) aplicar ad–bc diretamente em A^-1: cada elemento tem fator 1/3, então
det(A^-1)=13^2l(2cdot2-(-1)cdot(-1)r) =19(4-1)=39=13

Passo 4

Para A-lambda I=2-lambda & 1 1 & 2-lambda, temos
det(A-lambda I)=(2-lambda)(2-lambda)-1cdot1=(2-lambda)^2-1
Expandindo,
(2-lambda)^2-1=4-4lambda+lambda^2-1=lambda^2-4lambda+3

Resposta

det(A)=3
det(A^-1)=tfrac13
det(A-lambda I)=(2-lambda)^2-1=lambda^2-4lambda+3

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