Questão 2)
Considere que o campo magnético
é solução de uma equação de onda.
a) Determine a expressão para o vetor de Poynting associado à onda
b) Determine a intensidade da onda.
c) Mostre ou argumente que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo
.
a) Determine a expressão para o vetor de Poynting associado à onda
b) Determine a intensidade da onda.
c) Mostre ou argumente que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo magnético é
. Vou chamar a amplitude de (as unidades são as do SI, isto é tesla, se o enunciado não disser outra coisa). - A onda é uma onda plana senoidal que depende de
.
O enunciado pede:
a) Determinar a expressão para o vetor de Poynting associado à onda (vetorial, instantâneo).
b) Determinar a intensidade da onda (isto é, a média temporal do fluxo de energia por unidade de área).
c) Mostrar/argumentar que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo .
a) Determinar a expressão para o vetor de Poynting associado à onda (vetorial, instantâneo).
b) Determinar a intensidade da onda (isto é, a média temporal do fluxo de energia por unidade de área).
c) Mostrar/argumentar que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo
Informações físicas que vou usar (valores e definições que serão necessárias):
- Constantes do vácuo: permeabilidade
e permissividade , com a velocidade da luz no vácuo. - Definição do vetor de Poynting instantâneo:
. - Densidades de energia instantâneas:
e . - Relações entre
, e para uma onda plana em vácuo: , e (direção de propagação) são mutuamente perpendiculares; as amplitudes satisfazem . Vou usar essas propriedades ao longo da resolução.
Passo 2
Entendendo a forma vetorial da onda e escolhendo polarizações (etapa didática, sem perder generalidade).
- A expressão fornecida é escalar multiplicando o vetor: vou explicitar a polarização do campo magnético escrevendo
onde
e
é um vetor unitário indicando a direção de polarização de
. Por consistência física,
satisfaz
.
- Para uma onda plana viajando na direção
, o campo elétrico tem a forma
onde
é unitário,
e
. Uma escolha conveniente e padrão é tomar
. Isso garante que
(verificação rápida:
).
- Vou explicar agora por que
e estão relacionados por . Da equação de Maxwell-Faraday para uma onda plana com dependência (ou exponencial complexa) segue que . Tomando módulos e lembrando que , tem-se . Portanto é legítimo usar
- Resumo das formas dos campos que usarei a seguir:
Passo 3
Cálculo do vetor de Poynting instantâneo (parte a) — definição e simplificação.
- A definição é
- Substituindo as formas dos campos:
- Usando
(conforme a escolha vetorial acima) obtemos
- Substituindo
para ficar só em termos de :
- Observações didáticas rápidas:
-
garante que aponta sempre na direção de propagação (energia flui nessa direção) e oscila em módulo com o dobro da frequência (função tem componente DC e componente de frequência ). - A definição
é geral no vácuo; aqui simplificamos graças às relações entre amplitudes e polarizações.
-
Passo 4
Intensidade da onda (parte b) — média temporal do fluxo de energia.
- A intensidade (irradiância)
é a média temporal do componente normal de . Como a onda é plana e periódica, faz-se a média de ao longo de um período:
- Portanto a intensidade média é
- Podemos também escrever usando
como
pois
manipulação que leva às formas equivalentes usuais. (A forma mais comum em eletromagnetismo é
ou
.)
- Agora substituo o valor numérico dado
: - Constantes:
e . - Calculo intermediário:
- Como
, obtemos
- Constantes:
- Observação empática: sim, é um número colossal — vem do fato de
ser muito grande. O procedimento é o que importa para a prova.
Passo 5
Igualdade das energias elétrica e magnética para todo tempo
(parte c).
- Escrevo as densidades instantâneas:
- Substituo
e :
- Uso
e a relação . Com isso:
- Conclusão: para cada posição e para todo tempo
(porque é a mesma dependência temporal em ambos), tem-se
- Didaticamente: isso vem do equilíbrio entre campos elétrico e magnético numa onda plana em vácuo; metade da energia eletromagnética está “na parte elétrica” e metade “na parte magnética” instantaneamente.
Resposta
a)
, com
e
a direção de propagação.
b) .
c) para todo
.
b)
c)