Questão 2) (2,5) Considere que o campo magnético \vec{B}(x, y, z, t)=2 \cdot 10^{3} \cos (\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t) é solução de uma equação de onda.
a) Determine a expressão para o vetor de Poynting associado à onda
b) Determine a intensidade da onda.
c) Mostre ou argumente que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo t.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo magnético é \vec{B}(x,y,z,t)=2\cdot10^{3}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t). Vou chamar a amplitude de \displaystyle B_0=2\cdot10^{3} (as unidades são as do SI, isto é tesla, se o enunciado não disser outra coisa).
  • A onda é uma onda plana senoidal que depende de \varphi=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t.
O enunciado pede:
a) Determinar a expressão para o vetor de Poynting associado à onda (vetorial, instantâneo).
b) Determinar a intensidade da onda (isto é, a média temporal do fluxo de energia por unidade de área).
c) Mostrar/argumentar que a energia armazenada no campo elétrico é a mesma armazenada no campo magnético para todo tempo t.
Informações físicas que vou usar (valores e definições que serão necessárias):
  • Constantes do vácuo: permeabilidade \mu_0 e permissividade \epsilon_0, com c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} a velocidade da luz no vácuo.
  • Definição do vetor de Poynting instantâneo: \displaystyle \vec{S}(x,t)=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}(x,t)\times\vec{B}(x,t).
  • Densidades de energia instantâneas: \displaystyle u_E=\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2 e \displaystyle u_B=\tfrac{1}{2\mu_0}B^2.
  • Relações entre \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} para uma onda plana em vácuo: \vec{E}, \vec{B} e \hat{k} (direção de propagação) são mutuamente perpendiculares; as amplitudes satisfazem E_0=c B_0. Vou usar essas propriedades ao longo da resolução.

Passo 2

Entendendo a forma vetorial da onda e escolhendo polarizações (etapa didática, sem perder generalidade).
  • A expressão fornecida é escalar multiplicando o vetor: vou explicitar a polarização do campo magnético escrevendo
\vec{B}(\vec{r},t)=B_0\,\hat{b}\,\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t),
onde \displaystyle B_0=2\cdot10^{3} e \hat{b} é um vetor unitário indicando a direção de polarização de \vec{B}. Por consistência física, \hat{b} satisfaz \hat{b}\cdot\hat{k}=0.
  • Para uma onda plana viajando na direção \hat{k}, o campo elétrico tem a forma
\vec{E}(\vec{r},t)=E_0\,\hat{e}\,\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t),
onde \hat{e} é unitário, \hat{e}\cdot\hat{k}=0 e \hat{e}\cdot\hat{b}=0. Uma escolha conveniente e padrão é tomar \hat{e}=\hat{k}\times\hat{b}. Isso garante que \hat{e}\times\hat{b}=\hat{k} (verificação rápida: (\hat{k}\times\hat{b})\times\hat{b}=\hat{k}(\hat{b}\cdot\hat{b})-\hat{b}(\hat{k}\cdot\hat{b})=\hat{k}).
  • Vou explicar agora por que E_0 e B_0 estão relacionados por E_0=cB_0. Da equação de Maxwell-Faraday para uma onda plana com dependência \cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t) (ou exponencial complexa) segue que \vec{k}\times\vec{E}=\omega\vec{B}. Tomando módulos e lembrando que |\vec{k}|=\dfrac{\omega}{c}, tem-se kE_0=\omega B_0\Rightarrow \dfrac{\omega}{c}E_0=\omega B_0\Rightarrow E_0=cB_0. Portanto é legítimo usar
E_0=c\,B_0.
  • Resumo das formas dos campos que usarei a seguir:
\vec{B}(\vec{r},t)=B_0\,\hat{b}\,\cos\varphi,\qquad \vec{E}(\vec{r},t)=E_0\,\hat{e}\,\cos\varphi,\qquad \text{com }\hat{e}=\hat{k}\times\hat{b},\; E_0=cB_0,\; \varphi=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t .

Passo 3

Cálculo do vetor de Poynting instantâneo (parte a) — definição e simplificação.
  • A definição é
\vec{S}(\vec{r},t)=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}(\vec{r},t)\times\vec{B}(\vec{r},t).
  • Substituindo as formas dos campos:
\vec{S}(\vec{r},t)=\frac{1}{\mu_0}\big(E_0\hat{e}\cos\varphi\big)\times\big(B_0\hat{b}\cos\varphi\big) =\frac{E_0B_0}{\mu_0}\,\big(\hat{e}\times\hat{b}\big)\cos^2\varphi.
  • Usando \hat{e}\times\hat{b}=\hat{k} (conforme a escolha vetorial acima) obtemos
\vec{S}(\vec{r},t)=\frac{E_0B_0}{\mu_0}\,\hat{k}\cos^2\varphi.
  • Substituindo E_0=cB_0 para ficar só em termos de B_0:
\vec{S}(\vec{r},t)=\frac{cB_0^2}{\mu_0}\,\hat{k}\cos^2\varphi.
  • Observações didáticas rápidas:
    • \cos^2\varphi garante que \vec{S} aponta sempre na direção de propagação \hat{k} (energia flui nessa direção) e oscila em módulo com o dobro da frequência (função \cos^2 tem componente DC e componente de frequência 2\omega).
    • A definição \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B} é geral no vácuo; aqui simplificamos graças às relações entre amplitudes e polarizações.

Passo 4

Intensidade da onda (parte b) — média temporal do fluxo de energia.
  • A intensidade (irradiância) I é a média temporal do componente normal de \vec{S}. Como a onda é plana e periódica, faz-se a média de \cos^2\varphi ao longo de um período:
\langle\cos^2\varphi\rangle_t=\frac{1}{2}.
  • Portanto a intensidade média é
I=\langle S\rangle=\frac{cB_0^2}{\mu_0}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\frac{cB_0^2}{\mu_0}.
  • Podemos também escrever usando E_0=cB_0 como
I=\frac{1}{2\mu_0}E_0B_0=\frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2,
pois \dfrac{1}{\mu_0}c=\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=\dfrac{1}{\mu_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}= manipulação que leva às formas equivalentes usuais. (A forma mais comum em eletromagnetismo é I=\dfrac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2 ou I=\dfrac{1}{2\mu_0}cB_0^2.)
  • Agora substituo o valor numérico dado \displaystyle B_0=2\cdot10^{3}:
    • Constantes: \displaystyle \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \displaystyle c\approx2{,}99792458\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Calculo intermediário:
    \frac{c}{2\mu_0}\approx\frac{2{,}99792458\cdot10^{8}}{2\cdot(4\pi\cdot10^{-7})} =\frac{2{,}99792458\cdot10^{8}}{2{,}513274122\cdot10^{-6}} \approx 1{,}19265\cdot10^{14}.
    • Como B_0^2=(2\cdot10^{3})^2=4\cdot10^{6}, obtemos
    I=\frac{cB_0^2}{2\mu_0}\approx 1{,}19265\cdot10^{14}\times 4\cdot10^{6} \approx 4{,}7706\cdot10^{20}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Observação empática: sim, é um número colossal — vem do fato de B_0 ser muito grande. O procedimento é o que importa para a prova.

Passo 5

Igualdade das energias elétrica e magnética para todo tempo t (parte c).
  • Escrevo as densidades instantâneas:
u_E(t)=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2(\vec{r},t),\qquad u_B(t)=\frac{1}{2\mu_0} B^2(\vec{r},t).
  • Substituo E(\vec{r},t)=E_0\cos\varphi e B(\vec{r},t)=B_0\cos\varphi:
u_E(t)=\frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2\cos^2\varphi,\qquad u_B(t)=\frac{1}{2\mu_0} B_0^2\cos^2\varphi.
  • Uso E_0=cB_0 e a relação c^2=\dfrac{1}{\mu_0\epsilon_0}. Com isso:
u_E(t)=\frac{1}{2}\epsilon_0 c^2 B_0^2\cos^2\varphi =\frac{1}{2}\frac{1}{\mu_0}B_0^2\cos^2\varphi =u_B(t).
  • Conclusão: para cada posição e para todo tempo t (porque \cos^2\varphi é a mesma dependência temporal em ambos), tem-se
u_E(\vec{r},t)=u_B(\vec{r},t).
  • Didaticamente: isso vem do equilíbrio entre campos elétrico e magnético numa onda plana em vácuo; metade da energia eletromagnética está “na parte elétrica” e metade “na parte magnética” instantaneamente.

Resposta

a) \displaystyle \vec{S}(\vec{r},t)=\frac{cB_0^2}{\mu_0}\,\hat{k}\cos^2(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t), com \displaystyle B_0=2\cdot10^{3} e \hat{k} a direção de propagação.
b) \displaystyle I=\langle S\rangle=\frac{1}{2}\frac{cB_0^2}{\mu_0}\approx 4{,}7706\cdot10^{20}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
c) \displaystyle u_E(\vec{r},t)=\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2(\vec{r},t)=\tfrac{1}{2\mu_0}B^2(\vec{r},t)=u_B(\vec{r},t) para todo t.

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