Questão 1)
Considere o campo elétrico no espaço sem cargas
a) Calcule
b) Determine o campo magnético associado ao campo elétrico
c) Verifique se os campos satisfazem a lei de Faraday
d) Verifique se o campo Elétrico satisfaz a lei de Gauss para o campo elétrico.
b) Determine o campo magnético associado ao campo elétrico
c) Verifique se os campos satisfazem a lei de Faraday
d) Verifique se o campo Elétrico satisfaz a lei de Gauss para o campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico no espaço sem cargas
e pede:
- (a) calcular
; - (b) determinar o campo magnético associado;
- (c) verificar se os campos satisfazem a lei de Faraday;
- (d) verificar se o campo elétrico satisfaz a lei de Gauss (no espaço sem cargas).
As constantes explícitas que vamos usar são os coeficientes já apresentados: amplitude
, número de onda
e frequência angular
. Não há nenhuma imagem.
Passo 2
Vamos calcular
de forma direta, lembrando a definição (componentes cartesianas).
A expressão do rotacional em coordenadas cartesianas é
A expressão do rotacional em coordenadas cartesianas é
No nosso caso temos
,
e
portanto todas as derivadas parciais em
e
de
são nulas. Assim, cada componente do rotacional fica nula. Conclusão:
Passo 3
Interpretação didática do resultado do Passo 2:
- O rotacional nulo significa que localmente não há circulação de
. - Pela lei de Faraday (no vácuo) vale
Como o lado esquerdo é
, deduzimos imediatamente
ou seja, qualquer campo magnético que acompanhe esse
deve ser independente do tempo (constante temporalmente).
Passo 4
Agora usamos a outra equação de Maxwell relevante (lei de Ampère-Maxwell no vácuo, sem correntes livres):
Vamos calcular o termo do lado direito:
Portanto
Passo 5
Comparando Passo 3 e Passo 4 aparece uma contradição lógica se exigirmos que
seja independente do tempo:
- Do Passo 3:
(Faraday). - Do Passo 4: o rotacional de
é uma função explicitamente dependente do tempo (proporcional a ).
Não existe um campoque seja tempo‑independente e ao mesmo tempo tenha um rotacional com dependência temporal não nula. Logo não existe nenhum no vácuo (sem correntes livres e sem densidade de carga) que satisfaça simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell para o dado.
Passo 6
Outra forma de ver o problema (intuição de onda plana):
- Para uma onda eletromagnética plana no vácuo com vetor de onda
e amplitude vale a relação de transversalidade . Ou seja, deve ser perpendicular à direção de propagação. - Aqui a direção de propagação é
(pois o argumento é ) e também está em (z). Assim : a onda não é transversa — isso já é sinal de inconsistência para uma onda EM livre. - A relação entre amplitudes de campo elétrico e magnético para uma onda livre é
Como
é paralelo a
aqui,
e isso daria
. Se tomássemos
, então Faraday está satisfeita (
), mas Ampère-Maxwell exigiria
, o que não ocorre porque
. Mesma contradição.
Passo 7
Conclusão física essencial (explicada devagar):
- O campo elétrico dado varia com
e na direção de propagação (tem componente longitudinal). Em vácuo, sem cargas, isso não é permitido: Maxwell exige quando , o que força componentes longitudinais nulas para uma onda plana. - Logo o
fornecido NÃO pode existir no espaço sem cargas. Ou dito de outro modo: para que esse exista é necessário haver densidade de carga e/ou correntes que tornem as equações consistentes.
Passo 8
Agora verificamos a lei de Gauss explicitamente.
O divergente de é
O divergente de
Pela lei de Gauss (equação de Maxwell):
Portanto a densidade de carga que tornaria essa situação consistente seria
Vamos avaliar a amplitude numérica de
. Usando
,
e
:
Portanto
Isso mostra numericamente que
seria grande e dependente de
; como o enunciado afirma “espaço sem cargas”, esse
deveria ser zero — contradizendo os cálculos.
Passo 9
Resumo final (didático e motivador):
- (a) O rotacional de
é nulo: . - (b) Não existe nenhum campo magnético
no vácuo (sem correntes e sem carga) que seja consistente com todas as equações de Maxwell simultaneamente para o dado. Faraday exige enquanto Ampère-Maxwell exigiria um rotacional de com dependência temporal não nula — contradição. - (c) A lei de Faraday (isoladamente) exige
, ou seja, Faraday pode ser satisfeita se escolhermos independente do tempo. Porém essa escolha entra em conflito com Ampère-Maxwell; portanto os campos não são globalmente consistentes em vácuo. - (d) A lei de Gauss não é satisfeita no vácuo:
, logo seria necessário ter
Força aí — a conclusão prática é que o campo elétrico fornecido não descreve uma onda eletromagnética livre no vácuo; ele só poderia existir na presença da densidade de carga apresentada acima.
Resposta
a)
b) Não existe
no vácuo (sem cargas nem correntes) que satisfaça simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell para o
dado; portanto não há um
associado consistente em espaço sem cargas.
c) A lei de Faraday exige
(porque
), ou seja, Faraday é satisfeita por
tempo‑independente; contudo essa escolha entra em contradição com Ampère-Maxwell (logo os campos não são globalmente consistentes no vácuo).
d) Não.
, portanto
o que contradiz a hipótese “espaço sem cargas”.