Questão 1) (2,5) Considere o campo elétrico no espaço sem cargas \vec{E}(z, t)
\vec{E}(z, t)=5,98 \cdot 10^{11} \cos \left(2,09 z-6,2491 \cdot 10^{8} \cdot t\right) \hat{k}
a) Calcule \vec{\nabla} \times \vec{E}
b) Determine o campo magnético associado ao campo elétrico
c) Verifique se os campos satisfazem a lei de Faraday
d) Verifique se o campo Elétrico satisfaz a lei de Gauss para o campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico no espaço sem cargas
\vec{E}(z,t)=5,98\cdot10^{11}\cos\!\bigl(2,09\,z-6,2491\cdot10^{8}\,t\bigr)\,\hat{k}
e pede:
  • (a) calcular \vec{\nabla}\times\vec{E};
  • (b) determinar o campo magnético associado;
  • (c) verificar se os campos satisfazem a lei de Faraday;
  • (d) verificar se o campo elétrico satisfaz a lei de Gauss (no espaço sem cargas).
As constantes explícitas que vamos usar são os coeficientes já apresentados: amplitude E_0=5,98\cdot10^{11}, número de onda k=2,09 e frequência angular \omega=6,2491\cdot10^{8}. Não há nenhuma imagem.

Passo 2

Vamos calcular \vec{\nabla}\times\vec{E} de forma direta, lembrando a definição (componentes cartesianas).
A expressão do rotacional em coordenadas cartesianas é
\vec{\nabla}\times\vec{E}=\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)\hat{i} +\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)\hat{j} +\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)\hat{k}.
No nosso caso temos E_x=0, E_y=0 e
E_z(z,t)=E_0\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr),
portanto todas as derivadas parciais em x e y de E_z são nulas. Assim, cada componente do rotacional fica nula. Conclusão:
\vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{0}.

Passo 3

Interpretação didática do resultado do Passo 2:
  • O rotacional nulo significa que localmente não há circulação de \vec{E}.
  • Pela lei de Faraday (no vácuo) vale
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Como o lado esquerdo é \vec{0}, deduzimos imediatamente
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=\vec{0},
ou seja, qualquer campo magnético que acompanhe esse \vec{E} deve ser independente do tempo (constante temporalmente).

Passo 4

Agora usamos a outra equação de Maxwell relevante (lei de Ampère-Maxwell no vácuo, sem correntes livres):
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Vamos calcular o termo do lado direito:
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(E_0\cos(kz-\omega t)\hat{k}\Bigr) =E_0\bigl(+\omega\sin(kz-\omega t)\bigr)\hat{k}\,(-1) =-\omega E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{k}.
Portanto
\vec{\nabla}\times\vec{B}=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega E_0\sin(kz-\omega t)\,\hat{k}.

Passo 5

Comparando Passo 3 e Passo 4 aparece uma contradição lógica se exigirmos que \vec{B} seja independente do tempo:
  • Do Passo 3: \partial\vec{B}/\partial t=\vec{0} (Faraday).
  • Do Passo 4: o rotacional de \vec{B} é uma função explicitamente dependente do tempo (proporcional a \sin(kz-\omega t)).
    Não existe um campo \vec{B}(\vec{r}) que seja tempo‑independente e ao mesmo tempo tenha um rotacional com dependência temporal não nula. Logo não existe nenhum \vec{B} no vácuo (sem correntes livres e sem densidade de carga) que satisfaça simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell para o \vec{E} dado.

Passo 6

Outra forma de ver o problema (intuição de onda plana):
  • Para uma onda eletromagnética plana no vácuo com vetor de onda \vec{k} e amplitude \vec{E}_0 vale a relação de transversalidade \vec{k}\cdot\vec{E}_0=0. Ou seja, \vec{E} deve ser perpendicular à direção de propagação.
  • Aqui a direção de propagação é \hat{z} (pois o argumento é kz-\omega t) e \vec{E} também está em \hat{k} (z). Assim \vec{k}\cdot\vec{E}_0\neq0: a onda não é transversa — isso já é sinal de inconsistência para uma onda EM livre.
  • A relação entre amplitudes de campo elétrico e magnético para uma onda livre é
\vec{B}_0=\frac{1}{\omega}\,\vec{k}\times\vec{E}_0.
Como \vec{k} é paralelo a \vec{E}_0 aqui, \vec{k}\times\vec{E}_0=\vec{0} e isso daria \vec{B}_0=\vec{0}. Se tomássemos \vec{B}\equiv\vec{0}, então Faraday está satisfeita ( \partial\vec{B}/\partial t=0), mas Ampère-Maxwell exigiria \vec{\nabla}\times\vec{B}=\vec{0}=\mu_0\varepsilon_0\partial\vec{E}/\partial t, o que não ocorre porque \partial\vec{E}/\partial t\neq0. Mesma contradição.

Passo 7

Conclusão física essencial (explicada devagar):
  • O campo elétrico dado varia com z e t na direção de propagação (tem componente longitudinal). Em vácuo, sem cargas, isso não é permitido: Maxwell exige \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 quando \rho=0, o que força componentes longitudinais nulas para uma onda plana.
  • Logo o \vec{E} fornecido NÃO pode existir no espaço sem cargas. Ou dito de outro modo: para que esse \vec{E} exista é necessário haver densidade de carga \rho e/ou correntes que tornem as equações consistentes.

Passo 8

Agora verificamos a lei de Gauss explicitamente.
O divergente de \vec{E} é
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_z}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(E_0\cos(kz-\omega t)\Bigr)=-k E_0\sin(kz-\omega t).
Pela lei de Gauss (equação de Maxwell):
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Portanto a densidade de carga que tornaria essa situação consistente seria
\rho(z,t)=\varepsilon_0\,\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=-\varepsilon_0 k E_0\sin(kz-\omega t).
Vamos avaliar a amplitude numérica de \rho. Usando \varepsilon_0\approx8,854187817\cdot10^{-12}, k=2,09 e E_0=5,98\cdot10^{11}:
\varepsilon_0 k E_0 \approx 8,854187817\cdot10^{-12}\times2,09\times5,98\cdot10^{11}\approx11,06.
Portanto
\rho(z,t)\approx -11,06\sin\!\bigl(2,09\,z-6,2491\cdot10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Isso mostra numericamente que \rho seria grande e dependente de z,t; como o enunciado afirma “espaço sem cargas”, esse \rho deveria ser zero — contradizendo os cálculos.

Passo 9

Resumo final (didático e motivador):
  • (a) O rotacional de \vec{E} é nulo: \vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{0}.
  • (b) Não existe nenhum campo magnético \vec{B} no vácuo (sem correntes e sem carga) que seja consistente com todas as equações de Maxwell simultaneamente para o \vec{E} dado. Faraday exige \partial\vec{B}/\partial t=\vec{0} enquanto Ampère-Maxwell exigiria um rotacional de \vec{B} com dependência temporal não nula — contradição.
  • (c) A lei de Faraday (isoladamente) exige \partial\vec{B}/\partial t=\vec{0}, ou seja, Faraday pode ser satisfeita se escolhermos \vec{B} independente do tempo. Porém essa escolha entra em conflito com Ampère-Maxwell; portanto os campos não são globalmente consistentes em vácuo.
  • (d) A lei de Gauss não é satisfeita no vácuo: \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=-kE_0\sin(kz-\omega t)\neq0, logo seria necessário ter
\rho(z,t)=-\varepsilon_0 k E_0\sin(kz-\omega t)\neq0.
Força aí — a conclusão prática é que o campo elétrico fornecido não descreve uma onda eletromagnética livre no vácuo; ele só poderia existir na presença da densidade de carga apresentada acima.

Resposta

a) \vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{0}.
b) Não existe \vec{B} no vácuo (sem cargas nem correntes) que satisfaça simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell para o \vec{E} dado; portanto não há um \vec{B} associado consistente em espaço sem cargas.
c) A lei de Faraday exige \partial\vec{B}/\partial t=\vec{0} (porque \vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{0}), ou seja, Faraday é satisfeita por \vec{B} tempo‑independente; contudo essa escolha entra em contradição com Ampère-Maxwell (logo os campos não são globalmente consistentes no vácuo).
d) Não. \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=-kE_0\sin(kz-\omega t)\neq0, portanto
\rho(z,t)=\varepsilon_0\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=-\varepsilon_0 k E_0\sin(kz-\omega t)\approx-11,06\sin\!\bigl(2,09\,z-6,2491\cdot10^{8}t\bigr)\\ \mathrm{C/m^{3}},
o que contradiz a hipótese “espaço sem cargas”.

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