Questão 5 Considere o campo vetorial F(x, y)=(-y, x). Sejam A=(0,1) e B=(1,0). Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r onde C é o segmento orientado \overline{A B}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(-y,x) e pede a integral de linha \displaystyle \int_{C}F\cdot d r
ao longo do segmento orientado de A=(0,1) até B=(1,0).
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial em um caminho simples: vamos parametrizar o segmento, calcular F(r(t)), formar o produto escalar com r'(t) e integrar em t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento AB por
r(t) = \bigl(t,\;1 - t\bigr),\quad 0\le t\le1.
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r'(t) = (1,\,-1).
Em seguida, avaliamos o campo em r(t):
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(-(1 - t),\;t\bigr) = (t-1,\;t).
O integrando é o produto escalar
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = (t-1)\cdot1 + t\cdot(-1) = -1.

Passo 3

Agora basta integrar em t de 0 a 1:
\int_{C}F\cdot d r \;=\; \int_{0}^{1}(-1)\,dt \;=\; -1.

Resposta

-1

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