Questão 1 Considere a função f(x, y)=x^{3}+y^{2}.
Calcule \iint_{R} f(x, y) d A onde R é a região limitada pelas retas y=x, y=-x e x=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral duplo
\iint_{R} f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=x^3+y^2 e R é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (1,-1), limitado pelas retas y=x, y=-x e x=1.
O conteúdo usado será integrais iteradas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para descrever R em termos de x e y, note que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de -x até x. Logo
\iint_{R} (x^3+y^2)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=-x}^{x}(x^3+y^2)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{-x}^{x}(x^3+y^2)\,dy =\int_{-x}^{x}x^3\,dy+\int_{-x}^{x}y^2\,dy =x^3\,(2x)+2\int_{0}^{x}y^2\,dy =2x^4+\frac{2x^3}{3}.

Passo 4

Agora integre em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(2x^4+\frac{2x^3}{3}\Bigr)\,dx =2\int_{0}^{1}x^4\,dx+\frac{2}{3}\int_{0}^{1}x^3\,dx =2\cdot\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{2}{5}+\frac{1}{6} =\frac{17}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{30}

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