Questão 1(2,0) : Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(1x+y z, x z+z e^y+1, x y+e^y-2 z)
(a) Calcule Div(F) e Rot(F);
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;
(c) Mas veja só, esse campo é sim conservativo! Mostre isso de outra maneira (lembre da definição de campo conservativo…);
(d) Calcule o trabalho realizado por F para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos (1,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
em um domínio onde . Pede-se:
(a) calular e ;
(b) explicar por que o fato de não garante que seja conservativo;
(c) mostrar diretamente que é conservativo, encontrando um potencial escalar tal que ;
(d) usar para calcular o trabalho de de a .

Passo 2

Calcular e pela definição.
Cada derivada é
Logo
Para o rotacional usamos
Calculando cada termo vê-se que todos se cancelam, resultando

Passo 3

O fato de sugere que possa ser conservativo, mas o teorema que garante isso exige que o domínio seja simplesmente-conexo. Aqui o domínio é , que não é simplesmente-conexo (está “cortado” pelo plano ). Por isso não podemos concluir imediatamente que é conservativo apenas por .

Passo 4

Para mostrar que vec F é conservativo, buscamos phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F.
  1. Impondo partialphi/partial x=F1=1/x+yz, integramos em x:
phi(x,y,z)=ln|x|+xyz+h(y,z)
  1. Em seguida impomos partialphi/partial y=F2=xz+ze^y+1. Mas
partialphipartial y =xz+partial hpartial y,
logo
xz+hy(x,y,z)=xz+ze^y+1 Longrightarrow hy(y,z)=ze^y+1
Integrando em y:
h(y,z)=ze^y+y+k(z)
  1. Finalmente impomos partialphi/partial z=F3=xy+e^y-2z. Temos
partialphipartial z =xy+e^y+k'(z)
que deve igualar xy+e^y-2z. Logo k'(z)=-2z, de onde k(z)=-z^2+C.
Assim um potencial é
phi(x,y,z)=ln|x|+xyz+ze^y+y-z^2,
ignorado o +C.

Passo 5

O trabalho de vec F de A=(1,0,0) a B=(1,1,1) é
W=phi(B)-phi(A)
Calculando:
phi(1,1,1)=ln1+(1)(1)(1)+1cdot e^1+1-1^2 =0+1+e+1-1=e+1,
phi(1,0,0)=ln1+0+0+0-0=0
Logo
W=e+1

Resposta

(a) , .\n
(b) Não basta se o domínio não é simplesmente-conexo.\n
(c) Um potencial é .\n
(d) O trabalho vale .

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