Questão
: Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;
(c) Mas veja só, esse campo é sim conservativo! Mostre isso de outra maneira (lembre da definição de campo conservativo…);
(d) Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória que une os pontos
a
.
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
(c) Mas veja só, esse campo é sim conservativo! Mostre isso de outra maneira (lembre da definição de campo conservativo…);
(d) Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
em um domínio onde
. Pede-se:
(a) calular e ;
(b) explicar por que o fato de não garante que seja conservativo;
(c) mostrar diretamente que é conservativo, encontrando um potencial escalar
tal que
;
(d) usar para calcular o trabalho de
de
a
.
(a) calular e ;
(b) explicar por que o fato de não garante que
(c) mostrar diretamente que
(d) usar
Passo 2
Calcular e pela definição.
Cada derivada é
Logo
Para o rotacional usamos
Calculando cada termo vê-se que todos se cancelam, resultando
Passo 3
O fato de sugere que
possa ser conservativo, mas o teorema que garante isso exige que o domínio seja simplesmente-conexo. Aqui o domínio é
, que não é simplesmente-conexo (está “cortado” pelo plano
). Por isso não podemos concluir imediatamente que
é conservativo apenas por .
Passo 4
Para mostrar que
é conservativo, buscamos
tal que
.
- Impondo
, integramos em :
- Em seguida impomos
. Mas
logo
Integrando em
:
- Finalmente impomos
. Temos
que deve igualar
. Logo
, de onde
.
Assim um potencial é
Assim um potencial é
ignorado o
.
Passo 5
O trabalho de
de
a
é
Calculando:
Logo
Resposta
(a) , .\n
(b) Não basta se o domínio não é simplesmente-conexo.\n
(c) Um potencial é .\n
(d) O trabalho vale .
(b) Não basta se o domínio não é simplesmente-conexo.\n
(c) Um potencial é
(d) O trabalho vale