Questão 1

Considere um campo vetorial nabla cdot F. Calcule:
(a) O divergente (1,2,-1) no ponto nabla times F.
(b) O rotacional (1,2,-1) no ponto .
© Verifique se o campo é conservativo.

Passo 1

Beleza, o enunciado joga um campo vetorial

e pede três coisas:
a) Divergente no ponto .
b) Rotacional no mesmo ponto.
c) Dizer se o campo é conservativo.
Conteúdo: cálculo vetorial – especificamente divergente, rotacional e condição de campo conservativo. Vamos precisar lembrar das definições de derivada parcial, do operador e do teorema que liga “rotacional zero + domínio simplesmente conexo” a campo conservativo.

Passo 2

Calcular o divergente:
Por definição
nablacdotF = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aqui
nablacdotF = 2y + 0 + 2x = 2x + 2y ,
nablacdotF(1,2,-1) = 2cdot1 + 2cdot2 = 2 + 4 = 6 ,
.
  1. , porque não depende de .
  2. , já que nem nem dependem de .
  3. .
Logo
No ponto :

Passo 3

Calcular o rotacional:
nablatimesF = hatimath & hatjmath & hat k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Fx & Fy & Fz
Componentes:
  • Componente nablatimesF = (0,,0,,0) : .
    .
    .
    Então -componente = .
  • Componente : .
    .
    .
    Então -componente = .
  • Componente :


    Então -componente = .
Assim
em todo lugar, e em particular em .

Passo 4

Verificar se o campo é conservativo:
Um campo é conservativo se existe potencial escalar tal que .
Critério prático em (domínio simplesmente conexo):
“Se em toda região e o domínio não tem ‘buracos’, então é conservativo.”
Aqui vimos que e o domínio natural desse polinômio é (sem buracos).
Logo, é conservativo.

Resposta

a) .
b) .
c) Sim, o campo é conservativo.

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